Considere um escoamento bidimensional laminar levemente inclinado
em relação à horizontal e sob a ação da gravidade:
Usando análise de escala e as hipóteses do enunciado, simplifique as componentes
e
da equação de Navier-Stokes e mostre as equações resultantes.
em relação à horizontal e sob a ação da gravidade:
Usando análise de escala e as hipóteses do enunciado, simplifique as componentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um escoamento bidimensional (ou seja, que acontece em duas direções) que é laminar (fluxo suave) e está levemente inclinado em relação à horizontal. Além disso, a gravidade está agindo sobre esse escoamento. O que precisamos fazer é usar uma análise de escala e as suposições do enunciado para simplificar as componentes $ x_{1} $ e $ x_{2} $ da equação de Navier-Stokes e mostrar as equações resultantes. Vamos precisar entender um pouquinho sobre as equações de Navier-Stokes e como aplicar a análise de escala para simplificá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Navier-Stokes. Elas descrevem o movimento de fluidos e são fundamentais na mecânica dos fluidos. Em termos simples, elas relacionam a taxa de mudança da velocidade do fluido com as forças que atuam sobre ele, como a pressão, a viscosidade e as forças externas (como a gravidade).
Passo 3
Agora, como estamos lidando com um escoamento bidimensional laminar levemente inclinado, podemos simplificar as equações. Vamos assumir que as variações nas direções são pequenas devido à leve inclinação, e que o fluxo é constante ao longo do tempo (escoamento estacionário).
Passo 4
Vamos considerar as componentes $ x_{1} $ (horizontal) e $ x_{2} $ (vertical). A equação de Navier-Stokes para cada direção pode ser escrita como:
Aqui, $ u $ e $ v $ são as velocidades nas direções $ x_{1} $ e $ x_{2} $, respectivamente, $ p $ é a pressão, $ \rho $ é a densidade do fluido, $ \mu $ é a viscosidade, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ \theta $ é o ângulo de inclinação.
Passo 5
Vamos aplicar a análise de escala. Isso significa que vamos identificar quais termos nas equações são mais significativos com base nas magnitudes das variáveis e das derivadas. Geralmente, em escoamentos laminares e levemente inclinados, os termos convectivos ($ u \frac{\partial u}{\partial x_{1}} $ e $ v \frac{\partial u}{\partial x_{2}} $) são pequenos comparados aos termos de pressão e viscosos.
Passo 6
Com essa simplificação, podemos negligenciar os termos convectivos. Assim, as equações de Navier-Stokes simplificadas ficam:
Passo 7
Além disso, considerando que a inclinação é leve, podemos assumir que $ \sin(\theta) \approx \theta $ e $ \cos(\theta) \approx 1 $. Isso simplifica ainda mais as equações:
Passo 8
Por fim, podemos reorganizar as equações para destacar os termos de pressão e viscose:
Resposta
As equações de Navier-Stokes simplificadas, após aplicar a análise de escala e as hipóteses do enunciado, são: