Considere um escoamento bidimensional laminar levemente inclinado
em relação à horizontal e sob a ação da gravidade:
Usando análise de escala e as hipóteses do enunciado, simplifique as componentes x1 e x2 da equação de Navier-Stokes e mostre as equações resultantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um escoamento bidimensional (ou seja, que acontece em duas direções) que é laminar (fluxo suave) e está levemente inclinado em relação à horizontal. Além disso, a gravidade está agindo sobre esse escoamento. O que precisamos fazer é usar uma análise de escala e as suposições do enunciado para simplificar as componentes $ x_{1} $ e $ x_{2} $ da equação de Navier-Stokes e mostrar as equações resultantes. Vamos precisar entender um pouquinho sobre as equações de Navier-Stokes e como aplicar a análise de escala para simplificá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Navier-Stokes. Elas descrevem o movimento de fluidos e são fundamentais na mecânica dos fluidos. Em termos simples, elas relacionam a taxa de mudança da velocidade do fluido com as forças que atuam sobre ele, como a pressão, a viscosidade e as forças externas (como a gravidade).

Passo 3

Agora, como estamos lidando com um escoamento bidimensional laminar levemente inclinado, podemos simplificar as equações. Vamos assumir que as variações nas direções são pequenas devido à leve inclinação, e que o fluxo é constante ao longo do tempo (escoamento estacionário).

Passo 4

Vamos considerar as componentes $ x_{1} $ (horizontal) e $ x_{2} $ (vertical). A equação de Navier-Stokes para cada direção pode ser escrita como:
x1
Aqui, $ u $ e $ v $ são as velocidades nas direções $ x_{1} $ e $ x_{2} $, respectivamente, $ p $ é a pressão, $ \rho $ é a densidade do fluido, $ \mu $ é a viscosidade, $ g $ é a aceleração da gravidade, e $ \theta $ é o ângulo de inclinação.

Passo 5

Vamos aplicar a análise de escala. Isso significa que vamos identificar quais termos nas equações são mais significativos com base nas magnitudes das variáveis e das derivadas. Geralmente, em escoamentos laminares e levemente inclinados, os termos convectivos ($ u \frac{\partial u}{\partial x_{1}} $ e $ v \frac{\partial u}{\partial x_{2}} $) são pequenos comparados aos termos de pressão e viscosos.

Passo 6

Com essa simplificação, podemos negligenciar os termos convectivos. Assim, as equações de Navier-Stokes simplificadas ficam:
0 = -partial ppartial x1 + mu ( partial^2 upartial x1^2 + partial^2 upartial x2^2 ) + rho g sin(theta) 0 = -partial ppartial x2 + mu ( partial^2 vpartial x1^2 + partial^2 vpartial x2^2 ) - rho g cos(theta)

Passo 7

Além disso, considerando que a inclinação é leve, podemos assumir que $ \sin(\theta) \approx \theta $ e $ \cos(\theta) \approx 1 $. Isso simplifica ainda mais as equações:
sin(theta) approx theta

Passo 8

Por fim, podemos reorganizar as equações para destacar os termos de pressão e viscose:
partial ppartial x1 = mu ( partial^2 upartial x1^2 + partial^2 upartial x2^2 ) + rho g theta partial ppartial x2 = mu ( partial^2 vpartial x1^2 + partial^2 vpartial x2^2 ) - rho g

Resposta

As equações de Navier-Stokes simplificadas, após aplicar a análise de escala e as hipóteses do enunciado, são:
partial ppartial x1 = mu ( partial^2 upartial x1^2 + partial^2 upartial x2^2 ) + rho g theta partial ppartial x2 = mu ( partial^2 vpartial x1^2 + partial^2 vpartial x2^2 ) - rho g

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