Considere um escoamento radial e unidimensional no plano
caracterizado por
e
. Determine as condições sobre
) necessárias para que o escoamento seja incompressível. (Resp.
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um escoamento radial e unidimensional no plano $ r\varphi $, onde a velocidade radial $ v_r $ depende apenas da posição $ r $ e a velocidade angular $ v_\varphi $ é zero. O que precisamos descobrir são as condições que a função $ v_r® $ deve satisfazer para que esse escoamento seja considerado incompressível. Para isso, vamos precisar lembrar como verificar a incompressibilidade em um fluxo e aplicar isso ao contexto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um fluxo incompressível. Em termos simples, um fluxo é incompressível quando a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo, ou seja, não há variação de densidade no escoamento. Matematicamente, isso se traduz na divergência do campo de velocidade sendo igual a zero:
No nosso caso, como o fluxo é radial e unidimensional, só precisamos considerar a componente radial da velocidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo de velocidade para o escoamento dado. Em coordenadas polares $ (r, \varphi) $, a divergência de um campo de velocidade $ \mathbf{v} = v_r® \hat{r} + v_\varphi \hat{\varphi} $ é dada por:
Mas, como $ v_\varphi = 0 $, o segundo termo desaparece, ficando:
Passo 4
Para que o fluxo seja incompressível, temos que a divergência seja zero:
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
Isso significa que $ r v_r $ é constante. Vamos chamar essa constante de $ C $:
Finalmente, isolando $ v_r $:
Resposta
As condições necessárias para que o escoamento seja incompressível são que:
onde $ C $ é uma constante.