Considere um escoamento radial e unidimensional no plano r varphi caracterizado por vr=vr(r) e vvarphi=0. Determine as condições sobre vr(r ) necessárias para que o escoamento seja incompressível. (Resp. vr=C / r ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um escoamento radial e unidimensional no plano $ r\varphi $, onde a velocidade radial $ v_r $ depende apenas da posição $ r $ e a velocidade angular $ v_\varphi $ é zero. O que precisamos descobrir são as condições que a função $ v_r® $ deve satisfazer para que esse escoamento seja considerado incompressível. Para isso, vamos precisar lembrar como verificar a incompressibilidade em um fluxo e aplicar isso ao contexto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um fluxo incompressível. Em termos simples, um fluxo é incompressível quando a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo, ou seja, não há variação de densidade no escoamento. Matematicamente, isso se traduz na divergência do campo de velocidade sendo igual a zero:
nabla cdot v = 0
No nosso caso, como o fluxo é radial e unidimensional, só precisamos considerar a componente radial da velocidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo de velocidade para o escoamento dado. Em coordenadas polares $ (r, \varphi) $, a divergência de um campo de velocidade $ \mathbf{v} = v_r® \hat{r} + v_\varphi \hat{\varphi} $ é dada por:
(r, varphi)
Mas, como $ v_\varphi = 0 $, o segundo termo desaparece, ficando:
v = vr(r) r + vvarphi varphi

Passo 4

Para que o fluxo seja incompressível, temos que a divergência seja zero:
1r d (r vr)d r = 0
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
r
Isso significa que $ r v_r $ é constante. Vamos chamar essa constante de $ C $:
d (r vr)d r = 0
Finalmente, isolando $ v_r $:
r vr

Resposta

As condições necessárias para que o escoamento seja incompressível são que:
vr = Cr
onde $ C $ é uma constante.

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