Considere uma esfera de raio r=4, com centro em (0,0,3). Seja S_{1} a porção da superfície esférica que está situada acima do plano x y. Encontre \int_{S_{1}}(\nabla \times \mathbf{H}) \cdot d \mathbf{S} se
\mathbf{H}=3 \rho \mathbf{a}_{\varphi} em coordenadas cilíndricas.
\mathbf{H}=3 \rho \mathbf{a}_{\varphi} em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera de raio
com centro em
. A superfície
é a parte dessa esfera acima do plano
(isto é,
). Preciso calcular
sendo
em coordenadas cilíndricas. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes e parametrização de curva em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes vale
onde
é a fronteira de
.
Passo 3
A fronteira
é a interseção da esfera
com o plano
. Substituindo
obtém-se
logo
é o círculo de raio
em
.
Passo 4
Parametrizamos
em coordenadas cilíndricas por
e o vetor diferencial ao longo de
é
Passo 5
Ao longo de
temos
. Portanto
Passo 6
Integramos em
de
a
: