Considere:
f(x) = { -x^3 + x^2 se x <= 1, 2x^2 - 5x + 1 se x > 1 }
Calcule a derivada à esquerda e à direita em x = 1. Decida se a derivada existe em x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos envolve derivadas de uma função definida por partes. A gente precisa calcular a derivada pela esquerda e pela direita em e ver se a derivada existe nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas laterais e a regra de derivação para funções polinomiais. Vamos precisar diferenciar cada parte da função e avaliar os limites das derivadas quando se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função :
Vamos precisar calcular a derivada de cada parte separadamente e depois avaliar essas derivadas em .

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela esquerda, . Para , a função é .
Derivando:
Agora, avaliamos em :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada pela direita, . Para , a função é .
Derivando:
Agora, avaliamos em :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como as duas derivadas laterais são iguais, a derivada de existe em e seu valor é .

Resposta

A derivada à esquerda e à direita em são iguais a . Portanto, a derivada de existe em e .

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