Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: DC f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar f(x) = sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2 , que basicamente significa a derivada da função . A função dada é uma série infinita:
Então, vamos precisar usar conceitos de derivadas e séries infinitas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como derivar uma série infinita termo a termo. Isso é permitido se a série converge de forma adequada. Aderivação termo a termo significa que a derivada da soma é igual à soma das derivadas. Então, podemos escrever:
f'(x) = ddx ( sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2 ) = sumn=0^infty ddx ( x^n+1(n+1)^2 )

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo individualmente. A derivada de f'(x) = sumn=0^infty (n+1) x^n(n+1)^2 = sumn=0^infty x^nn+1 em relação a é . Então, temos:

Passo 4

Essa série que sobraram sumn=0^infty x^nn+1 = -ln(1 - x)x é conhecida e pode ser simplificada. Sabemos que:
f'(x) = -ln(1 - x)x
Portanto, substituindo na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função f'(x) = -ln(1 - x)x é:

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