Considere a família de curvas do plano complexo, definida por
, onde
é um complexo não nulo e
é uma constante real positiva. Para cada C temos uma:
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas do plano complexo definida por
, com
complexo não-nulo e
uma constante real positiva. A pergunta implícita é: para cada valor fixo de
, que tipo de curva no plano
essa equação representa? Listei as informações dadas:
,
(com
reais),
e
.
A partir disso devemos determinar a forma geométrica (e parâmetros) da curva correspondente a cada .
A partir disso devemos determinar a forma geométrica (e parâmetros) da curva correspondente a cada
Passo 2
Vamos passar para coordenadas reais: escrevemos
com
. Para calcular
usamos a multiplicação pelo conjugado para racionalizar o denominador:
Aqui eu multipliquei numerador e denominador por
(o conjugado de
) para obter um denominador real
. Isso é permitido porque
implica
.
Passo 3
A parte real de
é, portanto,
Pela equação dada temos
Aqui estamos interpretando a condição como uma equação real envolvendo as coordenadas
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
(válido pois
) para eliminar o denominador:
Reorganizando para ter uma forma quadrática:
Passo 5
Agora vamos manipular essa equação para reconhecer a geometria. Isolamos os termos em
e
:
Para completar o quadrado no termo em
usamos a identidade
Substituindo isso na equação obtemos:
Passo 6
Simplificando a expressão anterior (multiplicando
e isolando os quadrados) chegamos a
Dividindo ambos os lados por
(como
podemos dividir sem problemas) ficamos com
Passo 7
A equação
é a equação canônica de uma circunferência no plano
. Especificamente, trata-se de uma circunferência de centro
e raio
Observações úteis para a prova: como o centro tem abscissa positiva (pois
) e o raio é igual à abscissa do centro, a circunferência passa pela origem
. Contudo, como
no enunciado, o ponto correspondente
deve ser excluído da curva resultante.
Passo 8
Para fixar a intuição, veja um exemplo simples: se
, a curva é a circunferência centrada em
com raio
, ou seja, a circunferência que passa por
e tem centro em
. Método rápido para a prova: transforme
em coordenadas reais, coloque tudo numa equação quadrática em
e complete o quadrado para identificar centro e raio.
Resposta
Circunferência de centro
e raio
, com o ponto
excluído.