Considere a família de curvas do plano complexo, definida por \operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=C, onde z é um complexo não nulo e C é uma constante real positiva. Para cada C temos uma:

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas do plano complexo definida por \operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{z}\right)=C, com z complexo não-nulo e C uma constante real positiva. A pergunta implícita é: para cada valor fixo de C>0, que tipo de curva no plano (x,y) essa equação representa? Listei as informações dadas:
\,z\neq0,
\,z=x+iy (com x,y reais),
\,\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{z}\right)=C e C>0.
A partir disso devemos determinar a forma geométrica (e parâmetros) da curva correspondente a cada C.

Passo 2

Vamos passar para coordenadas reais: escrevemos z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Para calcular \frac{1}{z} usamos a multiplicação pelo conjugado para racionalizar o denominador:
\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}.
Aqui eu multipliquei numerador e denominador por x-iy (o conjugado de x+iy) para obter um denominador real x^{2}+y^{2}. Isso é permitido porque z\neq0 implica x^{2}+y^{2}\neq0.

Passo 3

A parte real de \frac{1}{z} é, portanto,
\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Pela equação dada temos
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=C.
Aqui estamos interpretando a condição como uma equação real envolvendo as coordenadas x e y.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}+y^{2} (válido pois x^{2}+y^{2}\neq0) para eliminar o denominador:
x = C\,(x^{2}+y^{2}).
Reorganizando para ter uma forma quadrática:
C x^{2} + C y^{2} - x = 0.

Passo 5

Agora vamos manipular essa equação para reconhecer a geometria. Isolamos os termos em x e y:
C\left(x^{2}+y^{2}\right)-x=0 \quad\Longrightarrow\quad C\left(x^{2}-\frac{x}{C}+y^{2}\right)=0.
Para completar o quadrado no termo em x usamos a identidade
x^{2}-\frac{x}{C}=\left(x-\frac{1}{2C}\right)^{2}-\frac{1}{4C^{2}}.
Substituindo isso na equação obtemos:
C\left(\left(x-\frac{1}{2C}\right)^{2}-\frac{1}{4C^{2}}+y^{2}\right)=0.

Passo 6

Simplificando a expressão anterior (multiplicando C e isolando os quadrados) chegamos a
C\left(x-\frac{1}{2C}\right)^{2}+C y^{2}=\frac{1}{4C}.
Dividindo ambos os lados por C (como C>0 podemos dividir sem problemas) ficamos com
\left(x-\frac{1}{2C}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4C^{2}}.

Passo 7

A equação
\left(x-\frac{1}{2C}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4C^{2}}
é a equação canônica de uma circunferência no plano (x,y). Especificamente, trata-se de uma circunferência de centro
\left(\frac{1}{2C},0\right)
e raio
\frac{1}{2C}.
Observações úteis para a prova: como o centro tem abscissa positiva (pois C>0) e o raio é igual à abscissa do centro, a circunferência passa pela origem (0,0). Contudo, como z\neq0 no enunciado, o ponto correspondente z=0 deve ser excluído da curva resultante.

Passo 8

Para fixar a intuição, veja um exemplo simples: se C=1, a curva é a circunferência centrada em \left(\tfrac{1}{2},0\right) com raio \tfrac{1}{2}, ou seja, a circunferência que passa por (0,0) e tem centro em (\tfrac{1}{2},0). Método rápido para a prova: transforme \operatorname{Re}(1/z)=C em coordenadas reais, coloque tudo numa equação quadrática em x,y e complete o quadrado para identificar centro e raio.

Resposta

Circunferência de centro \left(\dfrac{1}{2C},0\right) e raio \dfrac{1}{2C}, com o ponto z=0 excluído.

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