Considere a formulação diferencial da primeira lei da Termodinâmica. Há algum impedimento de a variação da energia interna ser diferente de zero? Justifique sua resposta.

Passo 1

Enunciado (resumido): “Considere a formulação diferencial da primeira lei da Termodinâmica. Há algum impedimento de a variação da energia interna ser diferente de zero? Justifique.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado: existe a formulação diferencial da primeira lei; pergunta se a variação da energia interna pode ser diferente de zero e quer justificativa.

Passo 2

Escrevendo a forma diferencial da primeira lei (a forma mais usada para sistemas simples fechados):
\mathrm{d}U=\delta Q-\delta W.
Explicando cada símbolo, devagarinho:
  • \mathrm{d}U é a variação infinitesimal da energia interna do sistema (energia associada à energia cinética e potencial microscópica das partículas). É uma diferencial exata, porque U é uma função de estado (depende apenas do estado atual do sistema).
  • \delta Q é o calor trocado (pequena quantidade de energia transferida por diferença de temperatura). É uma diferencial inexacta (o calor depende do caminho).
  • \delta W é o trabalho realizado pelo sistema (pequena quantidade de energia que sai fazendo trabalho). Também é uma diferencial inexacta.
    Comentário prático: a equação diz que qualquer variação da energia interna vem da diferença entre calor recebido e trabalho realizado pelo sistema.

Passo 3

Interpretando a equação: para um processo infinitesimal, a energia interna muda exatamente quando \delta Q e \delta W não “se cancelam”. Não existe nenhuma condição matemática na primeira lei que exija \mathrm{d}U=0 em geral. Ou seja, a lei não proíbe \mathrm{d}U\neq 0; ela apenas relaciona \mathrm{d}U com as trocas de calor e trabalho:
\mathrm{d}U=\delta Q-\delta W.
Se \delta Q\neq\delta W então automaticamente \mathrm{d}U\neq0. Portanto não há impedimento geral — dU pode ser diferente de zero dependendo do processo.

Passo 4

Mostrando casos concretos para fixar a ideia (sistema fechado, trabalho do tipo pressão–volume): para processos reversíveis elementares temos as formas usuais
\delta Q_{\text{rev}}=T\,\mathrm{d}S,\qquad \delta W_{\text{rev}}=p\,\mathrm{d}V,
onde T é temperatura, S entropia, p pressão e V volume. Substituindo na primeira lei:
\mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V.
Aqui cada quantidade tem um significado físico: \mathrm{d}S e \mathrm{d}V representam mudanças de estado; se qualquer uma delas não for nula em conjunto com T e p apropriados, \mathrm{d}U será, em geral, diferente de zero.

Passo 5

Exemplo simples e muito didático (compressão adiabática): suponha processo adiabático (nenhum calor trocado), então \delta Q=0 e a primeira lei dá
\mathrm{d}U=-\delta W.
Se o trabalho considerado for p\,\mathrm{d}V (trabalho realizado pelo sistema), então
\mathrm{d}U = -p\,\mathrm{d}V.
Se comprimirmos o gás, \mathrm{d}V<0, portanto -p\,\mathrm{d}V>0 e logo \mathrm{d}U>0: a energia interna aumenta. Isso é bem intuitivo: ao comprimir fazemos trabalho sobre o sistema e a energia interna sobe. Portanto \mathrm{d}U\neq0 é comum e perfeitamente permitido.

Passo 6

Outro exemplo (gás ideal): para um gás ideal monoatômico numa transformação qualquer, sabemos que U depende apenas da temperatura e que
\mathrm{d}U=C_V\,\mathrm{d}T,
onde C_V é a capacidade calorífica a volume constante. Assim, sempre que a temperatura do gás muda ( \mathrm{d}T\neq0), tem-se \mathrm{d}U\neq0. Logo é frequente obter \mathrm{d}U\neq0.

Passo 7

Quando \mathrm{d}U é zero? Apontando os casos especiais:
  • Em um processo cíclico o sistema retorna ao mesmo estado final e inicial, então U volta ao mesmo valor e a variação total \Delta U=0 (mas isso é global, não impede variações locais durante o ciclo).
  • Em um sistema isolado, sem troca de calor nem trabalho ( \delta Q=\delta W=0), a primeira lei dá \mathrm{d}U=0. Nesse caso específico a energia interna é constante.
  • Em uma expansão livre idealizada (expansão em vácuo) normalmente \delta Q=0 e \delta W=0, então \mathrm{d}U=0 (para gás ideal a temperatura não muda).
    Esses são cenários particulares; não são regras gerais que impeçam \mathrm{d}U\neq0.

Passo 8

Resumo físico-intuitivo e resposta direta: a primeira lei é uma lei de conservação de energia que relaciona calor, trabalho e a variação da energia interna. Ela não exige que a energia interna seja constante; ela apenas determina quanto a energia interna muda em função das trocas de energia por calor e trabalho. Portanto, salvo condições especiais (sistema isolado, ciclo completo, ou trocas nulas), não há impedimento para que \mathrm{d}U seja diferente de zero.

Resposta

Não, não há impedimento geral: a forma diferencial da primeira lei \mathrm{d}U=\delta Q-\delta W permite \mathrm{d}U\neq0 sempre que as trocas de calor e trabalho não se cancelarem. Apenas em casos especiais (sistema isolado com \delta Q=\delta W=0, ou ciclo completo) tem-se \mathrm{d}U=0.

Exercícios relacionados