Considere a função dada por:
Calcule
e
. Analise a diferenciabilidade
em
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo se o ponto
é igual a
ou não. O exercício pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
e depois ver se
é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
, denotada por
, mede como
muda quando a gente varia apenas
mantendo
fixo em 0. Da mesma forma para
.
Passo 3
Para calcular
, usamos a definição de derivada parcial:
Sabemos que
. Então, precisamos encontrar
quando
:
Agora, substituindo na definição:
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, então:
Quando
,
. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite é 0.
Passo 4
De maneira semelhante, vamos calcular
. Usamos a definição:
Sabemos que
. Então, precisamos encontrar
:
Substituindo na definição:
Assim como antes,
está entre -1 e 1, então:
Quando
,
. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos analisar se a função
é diferenciável em
. A diferenciabilidade exige que a função possa ser aproximada linearmente perto de
, ou seja, que:
Sabemos que
e as derivadas parciais são zero. Então, o que precisa ser zero é:
Para
:
Então,
Como
está entre -1 e 1:
Quando
,
. Pelo Teorema do Sanduíche, o limite é 0.
Isso mostra que
é diferenciável em
.
Resposta
As derivadas parciais de
em
são
e
. Além disso, a função
é diferenciável em
.