Considere a função dada por:
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0). Analise a diferenciabilidade f em (0,0).

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo se o ponto é igual a ou não. O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto e depois ver se é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. A derivada parcial de em relação a no ponto , denotada por , mede como muda quando a gente varia apenas mantendo fixo em 0. Da mesma forma para .

Passo 3

Para calcular partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h , usamos a definição de derivada parcial:
f(h, 0) = ( h^2 + 0^2 ) sin( 1h^2 + 0^2 ) = h^2 sin( 1h^2 )
Sabemos que partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h^2 sin( 1h^2 )h = limh to 0 h sin( 1h^2 ) . Então, precisamos encontrar - |h| <= h sin( 1h^2 ) <= |h| quando :
Agora, substituindo na definição:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então:
Quando , . Pelo Teorema do Sanduíche, o limite é 0.

Passo 4

De maneira semelhante, vamos calcular partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k . Usamos a definição:
f(0, k) = ( 0^2 + k^2 ) sin( 10^2 + k^2 ) = k^2 sin( 1k^2 )
Sabemos que partial fpartial y(0,0) = limk to 0 k^2 sin( 1k^2 )k = limk to 0 k sin( 1k^2 ) . Então, precisamos encontrar - |k| <= k sin( 1k^2 ) <= |k| :
Substituindo na definição:
Assim como antes, está entre -1 e 1, então:
Quando , . Pelo Teorema do Sanduíche, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos analisar se a função lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - partial fpartial x(0,0) h - partial fpartial y(0,0) kraizh^2 + k^2 = 0 é diferenciável em lim(h,k) to (0,0) f(h,k)raizh^2 + k^2 = 0 . A diferenciabilidade exige que a função possa ser aproximada linearmente perto de f(h,k) = (h^2 + k^2) sin( 1h^2 + k^2 ) , ou seja, que:
f(h,k)raizh^2 + k^2 = raizh^2 + k^2 sin( 1h^2 + k^2 )
Sabemos que - raizh^2 + k^2 <= raizh^2 + k^2 sin( 1h^2 + k^2 ) <= raizh^2 + k^2 e as derivadas parciais são zero. Então, o que precisa ser zero é:
Para :
Então,
Como está entre -1 e 1:
Quando , . Pelo Teorema do Sanduíche, o limite é 0.
Isso mostra que é diferenciável em .

Resposta

As derivadas parciais de em são e . Além disso, a função é diferenciável em .

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