Considere a função
, onde
, definida por
. Determine:
conjunto imagem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e o que a gente precisa saber é qual o conjunto de todos os possíveis valores que essa função pode assumir, ou seja, o conjunto imagem
. Para resolver isso, vamos mexer com álgebra básica e entender melhor como as funções racionais funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a imagem de uma função. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir quando a gente varia
dentro do domínio. Então, vamos escrever
e tentar descobrir para quais valores de
essa equação tem solução.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação
para
. Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, distribuímos o
no lado esquerdo:
Em seguida, vamos reunir os termos com
de um lado e os demais do outro:
Passo 5
Fatoramos o
do lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Para que essa expressão de
seja válida, o denominador
não pode ser zero, pois a divisão por zero não é definida. Então, temos que:
Passo 7
Isso significa que todo valor de
é possível, exceto
. Portanto, o conjunto imagem
é todos os números reais menos
.
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.