Considere a função f(x) dada por:
f(x)=e^{x} \operatorname{sen}(x)
A função possui assíntotas horizontais? Justifique, analisando os limites quando x \rightarrow \pm \infty.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=e^{x}\operatorname{sen}(x)
e pergunta se a função possui assíntotas horizontais, pedindo justificativa através da análise dos limites quando x\to+\infty e quando x\to-\infty.
Informações relevantes dadas:
  • A função é o produto de e^{x} (exponencial) por \operatorname{sen}(x) (seno).
  • Deve-se estudar os limites \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x) para decidir sobre assíntotas horizontais.

Passo 2

Definição útil (explicada de modo simples): a reta y=L é assíntota horizontal de f quando x\to+\infty se
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L,
e é assíntota horizontal quando x\to-\infty se
\lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
Ou seja, para haver assíntota horizontal para +\infty ou para -\infty o limite respectivo tem de existir e ser finito. Vou, portanto, analisar separadamente os dois limites.

Passo 3

Análise de \lim_{x\to+\infty} f(x).
Observações sobre os fatores:
  • \,e^{x}\to+\infty quando x\to+\infty.
  • \,\operatorname{sen}(x) oscila para sempre entre -1 e 1; não tem limite quando x\to+\infty.
Essa combinação (exponencial que cresce para +\infty multiplicada por uma função oscilante) pode produzir comportamentos diferentes dependendo de onde se avalia x. Para demonstrar que o limite não existe (e que não há assíntota horizontal em +\infty) é prático construir subsequências de x que forcem resultados diferentes.
Escolha de subsequências:
  • Se x_{n}=n\pi com n\in\mathbb{N}, então \operatorname{sen}(x_{n})=0. Logo f(x_{n})=e^{x_{n}}\operatorname{sen}(x_{n})=e^{n\pi}\cdot 0 = 0.Assim existe uma subsequência de pontos para a qual f(x_{n})\to 0.
  • Se y_{n}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, então \operatorname{sen}(y_{n})=1. Logo f(y_{n})=e^{y_{n}}\cdot 1 = e^{y_{n}}.Como y_{n}\to+\infty, tem-se e^{y_{n}}\to+\infty. Portanto há uma subsequência em que f(y_{n})\to+\infty.
  • Se z_{n}=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n, então \operatorname{sen}(z_{n})=-1. Logo f(z_{n})=e^{z_{n}}\cdot(-1) = -e^{z_{n}}\to -\infty.
Conclusão deste passo: já que existem subsequências em que f tende a valores distintos (por exemplo 0, +\infty e -\infty), o limite \lim_{x\to+\infty} f(x) não existe nem é finito. Em particular não existe assíntota horizontal quando x\to+\infty.

Passo 4

Análise de \lim_{x\to-\infty} f(x).
Observação útil: para todo x vale |\operatorname{sen}(x)|\le 1. Assim, para todo x,
|f(x)| = |e^{x}\operatorname{sen}(x)| = e^{x}|\operatorname{sen}(x)| \le e^{x}.
Note que isto é válido para qualquer x pois e^{x}>0.
Quando x\to-\infty temos e^{x}\to 0. Usando a desigualdade anterior e a propriedade do teorema do confronto (squeeze theorem), como
-e^{x}\le e^{x}\operatorname{sen}(x)\le e^{x}
e ambos os limites de -e^{x} e e^{x} são 0 quando x\to-\infty, conclui-se que
\lim_{x\to-\infty} e^{x}\operatorname{sen}(x)=0.
Portanto o limite existe e é finito: \lim_{x\to-\infty} f(x)=0. Isso significa que existe uma assíntota horizontal no ramo à esquerda, dada por y=0.

Passo 5

Resumo final e interpretação didática curta (para usar na prova):
  • Para x\to+\infty: não existe limite porque e^{x} cresce sem parar enquanto \operatorname{sen}(x) oscila; subsequências mostram valores de f tendendo a 0, +\infty e -\infty. Logo não há assíntota horizontal para +\infty.
  • Para x\to-\infty: |f(x)|\le e^{x} e e^{x}\to 0, pelo teorema do confronto segue que f(x)\to 0. Logo existe assíntota horizontal para -\infty: y=0.

Resposta

Não há assíntota horizontal para x\to+\infty.
Há assíntota horizontal para x\to-\infty, que é y=0.