Considere a função
dada por:
A função possui assíntotas horizontais? Justifique, analisando os limites quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pergunta se a função possui assíntotas horizontais, pedindo justificativa através da análise dos limites quando
e quando
.
Informações relevantes dadas:
- A função é o produto de
(exponencial) por (seno). - Deve-se estudar os limites
e para decidir sobre assíntotas horizontais.
Passo 2
Definição útil (explicada de modo simples): a reta
é assíntota horizontal de
quando
se
e é assíntota horizontal quando
se
Ou seja, para haver assíntota horizontal para
ou para
o limite respectivo tem de existir e ser finito. Vou, portanto, analisar separadamente os dois limites.
Passo 3
Análise de
.
Observações sobre os fatores:
-
quando . -
oscila para sempre entre e ; não tem limite quando .
Essa combinação (exponencial que cresce para
multiplicada por uma função oscilante) pode produzir comportamentos diferentes dependendo de onde se avalia
. Para demonstrar que o limite não existe (e que não há assíntota horizontal em
) é prático construir subsequências de
que forcem resultados diferentes.
Escolha de subsequências:
- Se
com , então . Logo Assim existe uma subsequência de pontos para a qual . - Se
, então . Logo Como , tem-se . Portanto há uma subsequência em que . - Se
, então . Logo
Conclusão deste passo: já que existem subsequências em que
tende a valores distintos (por exemplo
,
e
), o limite
não existe nem é finito. Em particular não existe assíntota horizontal quando
.
Passo 4
Análise de
.
Observação útil: para todo
vale
. Assim, para todo
,
Note que isto é válido para qualquer
pois
.
Quando
temos
. Usando a desigualdade anterior e a propriedade do teorema do confronto (squeeze theorem), como
e ambos os limites de
e
são
quando
, conclui-se que
Portanto o limite existe e é finito:
. Isso significa que existe uma assíntota horizontal no ramo à esquerda, dada por
.
Passo 5
Resumo final e interpretação didática curta (para usar na prova):
- Para
: não existe limite porque cresce sem parar enquanto oscila; subsequências mostram valores de tendendo a , e . Logo não há assíntota horizontal para . - Para
: e , pelo teorema do confronto segue que . Logo existe assíntota horizontal para : .
Resposta
Não há assíntota horizontal para
.
Há assíntota horizontal para , que é
.
Há assíntota horizontal para