Considere a função f(x, y, z)=2 x-y+3 z.
(a) Determine, se houver, o valor máximo de f(x, y, z) para ( x, y, z ) satisfazendo a equação 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \mathrm{eo}(\mathrm{s}) ponto(s) em que o valor máximo ocorre.
(b) Determine, se houver, o valor mínimo de f(x, y, z) para ( x, y, z ) satisfazendo a equação 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \mathrm{e} \mathrm{o}(\mathrm{s}) ponto(s) em que o valor mínimo ocorre.
(c) Algum nível de f tangencia o elipsoide de equação 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 ? Qual (quais) nível (níveis)? Em qual (quais) ponto(s)?
(d) Determine a taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1) em direção ao ponto Q=(0,2,3) (ou seja, na direção do vetor \overrightarrow{P Q} ).
(e) Determine a maior taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1).

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y,z)=2x-y+3z\, e o elipsoide \,2x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\,.
As perguntas são:
(a) Determinar, se existir, o valor máximo de \,f(x,y,z)\, sujeito à restrição \,2x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\, e os pontos onde ocorre.
(b) Determinar, se existir, o valor mínimo de \,f(x,y,z)\, sujeito à mesma restrição e os pontos onde ocorre.
(c) Verificar se algum nível de f tangencia o elipsoide; em caso afirmativo, quais níveis e em quais pontos.
(d) Calcular a taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1) na direção do ponto Q=(0,2,3), isto é, na direção do vetor \overrightarrow{PQ}.
(e) Determinar a maior taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
f(x,y,z)=2x-y+3z, \qquad \text{restrição: }\;2x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,çã
P=(1,-1,-1),\qquad Q=(0,2,3).

Passo 2

Vamos encontrar extremos de f sob a restrição usando multiplicadores de Lagrange (método que iguala a direção de maior crescimento de f à normal da superfície de restrição). Primeiro, calculemos os gradientes; isto é, os vetores das derivadas parciais, que indicam a direção de maior crescimento local.
Gradiente de f:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2,-1,3).
Considere a função de restrição
g(x,y,z)=2x^{2}+y^{2}+z^{2}-4,
cujo gradiente é a normal do elipsoide:
\nabla g(x,y,z)=(4x,\,2y,\,2z).
A condição de Lagrange pede um \lambda tal que
\nabla f=\lambda \nabla g,
ou seja o sistema
2= \lambda 4x, \qquad -1=\lambda 2y, \qquad 3=\lambda 2z,
com a restrição
2x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Vou explicar cada equação: por exemplo \,2=\lambda 4x\, vem de igualar a derivada parcial de f em x àquela de \lambda g em x. O multiplicador \lambda ajusta a escala entre os vetores gradiente.

Passo 3

Resolvendo as três equações de Lagrange em termos de \lambda:
Das equações,
4\lambda x=2 \implies \lambda x=\tfrac{1}{2} \implies x=\frac{1}{2\lambda},
2\lambda y=-1 \implies \lambda y=-\tfrac{1}{2} \implies y=-\frac{1}{2\lambda},
2\lambda z=3 \implies \lambda z=\tfrac{3}{2} \implies z=\frac{3}{2\lambda}.
Substituímos estes x,y,z na restrição para encontrar \lambda. Calculemos os quadrados e some-os:
2x^{2}=2\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=\frac{1}{2\lambda^{2}},
y^{2}=\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=\frac{1}{4\lambda^{2}},
z^{2}=\left(\frac{3}{2\lambda}\right)^{2}=\frac{9}{4\lambda^{2}}.
Somando,
\frac{1}{2\lambda^{2}}+\frac{1}{4\lambda^{2}}+\frac{9}{4\lambda^{2}}=\frac{2+1+9}{4\lambda^{2}}=\frac{12}{4\lambda^{2}}=\frac{3}{\lambda^{2}}.
Pela restrição \frac{3}{\lambda^{2}}=4, portanto
\lambda^{2}=\frac{3}{4} \implies \lambda=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora obtemos os pontos correspondentes a cada \lambda.
Para \lambda=\frac{\sqrt{3}}{2}:
x=\frac{1}{2\lambda}=\frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},
y=-\frac{1}{2\lambda}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3},
z=\frac{3}{2\lambda}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Logo um ponto candidato é
A=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\frac{\sqrt{3}}{3},\,\sqrt{3}\right).
Para \lambda=-\frac{\sqrt{3}}{2}:
x=-\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad z=-\sqrt{3}.
Logo outro ponto candidato é
B=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\,\frac{\sqrt{3}}{3},\,-\sqrt{3}\right).
Agora avaliamos f em A e B.
Em A:
f(A)=2x-y+3z =2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+3\cdot\sqrt{3} =\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3} =\sqrt{3}+3\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
Em B:
f(B)=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{3}+3\left(-\sqrt{3}\right) =-\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3} =-\sqrt{3}-3\sqrt{3}=-4\sqrt{3}.
Portanto, f tem um máximo local/global 4\sqrt{3} em A e um mínimo -4\sqrt{3} em B. (Para uma restrição compacta como o elipsoide, todos os extremos são globais.)

Passo 4

Interpretação geométrica e tangência de níveis:
O conjunto de nível \{(x,y,z):f(x,y,z)=c\} é o plano
2x-y+3z=c.
Uma placa (plano de nível) tangencia o elipsoide quando toca o elipsoide em exatamente um ponto localmente — isto ocorre quando a normal ao plano é paralela à normal do elipsoide naquele ponto. Essa condição é exatamente a condição de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g. Logo os níveis que tangenciam o elipsoide são exatamente os níveis correspondentes aos extremos que encontramos. Assim os níveis tangentes são
f=4\sqrt{3}\quad\text{no ponto}\quad A=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right),
e
f=-4\sqrt{3}\quad\text{no ponto}\quad B=\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{3}\right).

Passo 5

Taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1) na direção de Q=(0,2,3):
Primeiro o vetor direção \overrightarrow{PQ}=Q-P:
\overrightarrow{PQ}=(0-1,\,2-(-1),\,3-(-1))=(-1,\,3,\,4).
A taxa de variação direcional usa o vetor unitário nessa direção. Comprimento de \overrightarrow{PQ}:
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+4^{2}}=\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}.
O vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{PQ}\|}=\frac{1}{\sqrt{26}}(-1,3,4).
A derivada direcional de f em P na direção de \mathbf{u} é o produto escalar entre \nabla f(P) e \mathbf{u}. Como \nabla f é constante,
\quad\nabla f(P)=(2,-1,3).
Produto escalar \nabla f\cdot \overrightarrow{PQ}:
\nabla f\cdot\overrightarrow{PQ}=2\cdot(-1)+(-1)\cdot 3+3\cdot 4=-2-3+12=7.
Portanto a derivada direcional (taxa de variação por unidade de comprimento) é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{\nabla f\cdot\overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{PQ}\|}=\frac{7}{\sqrt{26}}.
Interpretação: movendo-se a partir de P na direção de Q com velocidade unidade, f aumenta a uma taxa \frac{7}{\sqrt{26}}.

Passo 6

Maior taxa de variação de f no ponto P:
A maior taxa de variação numa dada ponto é o comprimento do gradiente naquele ponto. Como o gradiente aqui é constante,
\|\nabla f\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
Essa taxa máxima ocorre na direção do vetor gradiente normalizado:
\text{direção de máxima variação }=\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,3).çãáçã
Portanto a maior taxa de variação é \sqrt{14} e ocorre na direção \frac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,3).

Resposta

(a) Valor máximo: 4\sqrt{3} no ponto \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right).
(b) Valor mínimo: -4\sqrt{3} no ponto \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{3}\right).
(c) Sim. Os níveis f=4\sqrt{3} e f=-4\sqrt{3} tangenciam o elipsoide, nos pontos indicados em (a) e (b), respectivamente.
(d) Taxa de variação de f em P na direção de Q: \dfrac{7}{\sqrt{26}}.
(e) Maior taxa de variação em P: \sqrt{14}, na direção \dfrac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,3).