Considere a função f(x, y, z)=2 x-y+3 z.
(a) Determine, se houver, o valor máximo de f(x, y, z) para ( x, y, z ) satisfazendo a equação 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \mathrm{eo}(\mathrm{s}) ponto(s) em que o valor máximo ocorre.
(b) Determine, se houver, o valor mínimo de f(x, y, z) para ( x, y, z ) satisfazendo a equação 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \mathrm{e} \mathrm{o}(\mathrm{s}) ponto(s) em que o valor mínimo ocorre.
(c) Algum nível de f tangencia o elipsoide de equação 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 ? Qual (quais) nível (níveis)? Em qual (quais) ponto(s)?
(d) Determine a taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1) em direção ao ponto Q=(0,2,3) (ou seja, na direção do vetor \overrightarrow{P Q} ).
(e) Determine a maior taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1).
Passo 1
O enunciado dá a função \,f(x,y,z)=2x-y+3z\, e o elipsoide \,2x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\,.
As perguntas são:
(a) Determinar, se existir, o valor máximo de \,f(x,y,z)\, sujeito à restrição \,2x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\, e os pontos onde ocorre.
(b) Determinar, se existir, o valor mínimo de \,f(x,y,z)\, sujeito à mesma restrição e os pontos onde ocorre.
(c) Verificar se algum nível de f tangencia o elipsoide; em caso afirmativo, quais níveis e em quais pontos.
(d) Calcular a taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1) na direção do ponto Q=(0,2,3), isto é, na direção do vetor \overrightarrow{PQ}.
(e) Determinar a maior taxa de variação de f no ponto P=(1,-1,-1).
Vamos encontrar extremos de f sob a restrição usando multiplicadores de Lagrange (método que iguala a direção de maior crescimento de f à normal da superfície de restrição). Primeiro, calculemos os gradientes; isto é, os vetores das derivadas parciais, que indicam a direção de maior crescimento local.
Vou explicar cada equação: por exemplo \,2=\lambda 4x\, vem de igualar a derivada parcial de f em x àquela de \lambda g em x. O multiplicador \lambda ajusta a escala entre os vetores gradiente.
Passo 3
Resolvendo as três equações de Lagrange em termos de \lambda:
Portanto, f tem um máximo local/global 4\sqrt{3} em A e um mínimo -4\sqrt{3} em B. (Para uma restrição compacta como o elipsoide, todos os extremos são globais.)
Passo 4
Interpretação geométrica e tangência de níveis:
O conjunto de nível \{(x,y,z):f(x,y,z)=c\} é o plano
2x-y+3z=c.
Uma placa (plano de nível) tangencia o elipsoide quando toca o elipsoide em exatamente um ponto localmente — isto ocorre quando a normal ao plano é paralela à normal do elipsoide naquele ponto. Essa condição é exatamente a condição de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g. Logo os níveis que tangenciam o elipsoide são exatamente os níveis correspondentes aos extremos que encontramos. Assim os níveis tangentes são
Essa taxa máxima ocorre na direção do vetor gradiente normalizado:
\text{direção de máxima variação }=\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,3).çãáçã
Portanto a maior taxa de variação é \sqrt{14} e ocorre na direção \frac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,3).
Resposta
(a) Valor máximo: 4\sqrt{3} no ponto \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}\right).
(b) Valor mínimo: -4\sqrt{3} no ponto \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{3}\right).
(c) Sim. Os níveis f=4\sqrt{3} e f=-4\sqrt{3} tangenciam o elipsoide, nos pontos indicados em (a) e (b), respectivamente.
(d) Taxa de variação de f em P na direção de Q: \dfrac{7}{\sqrt{26}}.
(e) Maior taxa de variação em P: \sqrt{14}, na direção \dfrac{1}{\sqrt{14}}(2,-1,3).