Considere a função
-linear
. Prove que, identificando
, existem
tais que
, com
. Conclua que
é um isomorfismo se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a aplicação
-linear
em termos da variável complexa
e de sua conjugada
. Precisamos achar
tais que
e então mostrar que
Por fim, usaremos essa igualdade para caracterizar quando
é isomorfismo (invertível).
Passo 2
Expressamos
e
em função de
e
. Como
temos o sistema
Passo 3
Substituímos essas fórmulas em
Logo
Passo 4
Simplificamos o termo com
, pois
. Assim
Somando com o primeiro termo, agrupamos os coeficientes de
e de
:
Portanto, definimos
de modo que
.
Passo 5
Calculamos
Então
Passo 6
Uma aplicação
-linear
é isomorfismo se, e somente se, sua matriz em relação às bases canônicas tem determinante diferente de zero. Aqui esse determinante é
Pelo passo anterior, isso equivale a
Resposta
Existem
tais que
e
Além disso,
é isomorfismo se, e somente se,