Considere a função \mathbb{R}-linear f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{C}, f(x, y)=(a x+b y)+i(c x+ d y), a, b, c, d \in \mathbb{R}. Prove que, identificando (x, y)=x+i y, existem \alpha, \beta \in \mathbb{C} tais que f(z)=\alpha \cdot z+\beta \cdot \bar{z}, com a d-b c=|\alpha|^{2}-|\beta|^{2}. Conclua que f é um isomorfismo se, e somente se, |\alpha|^{2}-|\beta|^{2} \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a aplicação \mathbb{R}-linear
f(x,y) \;=\;(a x+b y)+i(c x+ d y)
em termos da variável complexa z=x+iy e de sua conjugada \bar z=x-iy. Precisamos achar \alpha,\beta\in\mathbb{C} tais que
f(z)=\alpha\,z+\beta\,\bar z
e então mostrar que
a d-b c \;=\;|\alpha|^{2}-|\beta|^{2}.
Por fim, usaremos essa igualdade para caracterizar quando f é isomorfismo (invertível).

Passo 2

Expressamos x e y em função de z e \bar z. Como
z = x + i y, \qquad \bar z = x - i y,
temos o sistema
\begin{cases} x = \tfrac{z+\bar z}{2},\\\ y = \tfrac{z-\bar z}{2i}. \end{cases}

Passo 3

Substituímos essas fórmulas em
f(x,y) = (a+i\,c)\,x \;+\;(b+i\,d)\,y.
Logo
f(x,y) = (a+i\,c)\,\frac{z+\bar z}{2} + (b+i\,d)\,\frac{z-\bar z}{2i}.

Passo 4

Simplificamos o termo com 1/(2i), pois 1/i=-\,i. Assim
(b+i\,d)\,\frac{z-\bar z}{2i} = \frac{b+i\,d}{2}\,( -\,i)\,(z-\bar z) = \frac{d - i\,b}{2}\,z \;-\;\frac{d - i\,b}{2}\,\bar z.
Somando com o primeiro termo, agrupamos os coeficientes de z e de \bar z:
f(z) = \Bigl(\tfrac{a+i\,c}{2} + \tfrac{d - i\,b}{2}\Bigr)\,z + \Bigl(\tfrac{a+i\,c}{2} - \tfrac{d - i\,b}{2}\Bigr)\,\bar z.
Portanto, definimos
\alpha = \frac{(a+d) + i\,(c - b)}{2}, \qquad \beta = \frac{(a-d) + i\,(c + b)}{2},
de modo que \displaystyle f(z)=\alpha\,z+\beta\,\bar z.

Passo 5

Calculamos
|\alpha|^{2} = \frac{(a+d)^{2} + (c-b)^{2}}{4}, \quad |\beta|^{2} = \frac{(a-d)^{2} + (c+b)^{2}}{4}.
Então
|\alpha|^{2} - |\beta|^{2} = \frac{(a+d)^{2} + (c-b)^{2} - \bigl[(a-d)^{2} + (c+b)^{2}\bigr]}{4} = \frac{4ad - 4bc}{4} = a d - b c.

Passo 6

Uma aplicação \mathbb{R}-linear f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{C} é isomorfismo se, e somente se, sua matriz em relação às bases canônicas tem determinante diferente de zero. Aqui esse determinante é
\det \begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix} = a d - b c.
Pelo passo anterior, isso equivale a
a d - b c \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad |\alpha|^{2} - |\beta|^{2} \neq 0.

Resposta

Existem
\alpha = \frac{(a+d) + i\,(c - b)}{2}, \quad \beta = \frac{(a-d) + i\,(c + b)}{2}
tais que f(z)=\alpha\,z+\beta\,\bar z e
a d - b c = |\alpha|^{2} - |\beta|^{2}.
Além disso, f é isomorfismo se, e somente se,
|\alpha|^{2} - |\beta|^{2} \neq 0.

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