Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo x in(0,1) seja dada por:
psi(x)=A sin (pi x)
Usando a condição de normalização da função de onda determine o valor da constante A>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica! A gente tem uma função de onda que está confinada no intervalo . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante usando a condição de normalização da função de onda. Para isso, vamos precisar entender o que significa essa normalização e como aplicá-la na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de normalização. Basicamente, ela garante que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço é igual a 1. Matematicamente, isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda integral0^1 |psi(x)|^2 , dx = 1 sobre todo o intervalo deve ser igual a 1. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular |psi(x)|^2 = [A sin(pi x)]^2 = A^2 sin^2(pi x) . Como , temos:

Passo 4

Substituindo integral0^1 A^2 sin^2(pi x) , dx = 1 na integral de normalização, temos:
A^2 integral0^1 sin^2(pi x) , dx = 1
Como é uma constante, podemos tirá-lo da integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 . Usando a identidade trigonométrica:
sin^2(pi x) = 1 - cos(2pi x)2
Aplicando essa identidade com integral0^1 1 - cos(2pi x)2 , dx = 12 integral0^1 1 , dx - 12 integral0^1 cos(2pi x) , dx :
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Resolvendo as integrais:
  1. 12 times 1 - 12 times 0 = 12
Então, a integral inicial fica:

Passo 7

Voltando à equação da normalização:
A^2 times 12 = 1
Para encontrar A^2 = 2 , multiplicamos ambos os lados por 2:

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar A = raiz2 . Como , temos:

Resposta

O valor da constante é .

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