Considere a função de transferência de segunda ordem dada por \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{10}{s^{2}+1 s+10}, para a qual é aplicada uma entrada U(s)=\frac{1}{s} e^{-2 s}. A partir de qual tempo t, a saída y(t) ficará confinada entre 0,95 e 1,05 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
Função de transferência da planta: \displaystyle \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{10}{s^{2}+1 s+10}.
Entrada aplicada: \displaystyle U(s)=\frac{1}{s}e^{-2s}. (é um degrau unitário atrasado de 2 segundos.)
Pergunta: a partir de qual tempo t a saída y(t) ficará confinada no intervalo [0,95,\;1,05], isto é, |y(t)-1|\le 0,05 para todo t maior ou igual ao tempo pedido?
Passos a seguir (informação útil que o enunciado dá e que usaremos depois):
O ganho em regime permanente (ganho DC) da planta é \lim_{s\to0} \frac{10}{s^{2}+s+10}=\frac{10}{10}=1. Logo o valor final desejado do degrau é 1.
A entrada é um degrau unitário retardado de 2 s, então a resposta só começa a se movimentar a partir de t=2.
Passo 2
Transformar a planta para a forma canônica de segunda ordem e extrair parâmetros (vai ajudar a escrever a resposta ao degrau).
Compare o denominador com a forma padrão \;s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}.
Aqui \omega_n^{2}=10, logo \displaystyle \omega_n=\sqrt{10}.
E 2\zeta\omega_n=1, então \displaystyle \zeta=\frac{1}{2\omega_n}=\frac{1}{2\sqrt{10}}.
Vou explicar o que são essas quantidades (didático e direto):
\omega_n é a frequência natural não amortecida da segunda ordem (em rad/s). Controla a oscilação natural.
\zeta é o fator de amortecimento (adimensional). Se \zeta<1 temos resposta subamortecida (oscilações amortecendo), se \zeta=1 críticamente amortecido, se \zeta>1 superamortecido.
Aqui \zeta<1 (pequeno), portanto a resposta ao degrau é subamortecida: oscilações amortecendo exponencialmente.
Passo 3
Expressar a resposta ao degrau (sem atraso) e aplicar o deslocamento no tempo por 2 s.
Para a função de transferência padrão com ganho DC igual a 1:
Interpretação final e observação sobre a estimativa.
A condição que usamos é uma cota suprema (usamos |\sin|\le 1), portanto o tempo calculado garante que para todo t maior ou igual a esse valor a saída de fato permanecerá dentro de [0,95,1,05]. A resposta real pode entrar na banda um pouco antes (porque a senoide pode não atingir amplitude máxima continuamente), mas para garantir confinamento para todo t a partir de um instante, a cota é o método seguro.
Arredondando razoavelmente, podemos dizer que a saída ficará confinada na faixa exigida a partir de aproximadamente 8{,}02 s.