Considere a função de transferência de segunda ordem dada por \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{10}{s^{2}+1 s+10}, para a qual é aplicada uma entrada U(s)=\frac{1}{s} e^{-2 s}. A partir de qual tempo t, a saída y(t) ficará confinada entre 0,95 e 1,05 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • Função de transferência da planta: \displaystyle \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{10}{s^{2}+1 s+10}.
  • Entrada aplicada: \displaystyle U(s)=\frac{1}{s}e^{-2s}. (é um degrau unitário atrasado de 2 segundos.)
  • Pergunta: a partir de qual tempo t a saída y(t) ficará confinada no intervalo [0,95,\;1,05], isto é, |y(t)-1|\le 0,05 para todo t maior ou igual ao tempo pedido?
Passos a seguir (informação útil que o enunciado dá e que usaremos depois):
  • O ganho em regime permanente (ganho DC) da planta é \lim_{s\to0} \frac{10}{s^{2}+s+10}=\frac{10}{10}=1. Logo o valor final desejado do degrau é 1.
  • A entrada é um degrau unitário retardado de 2 s, então a resposta só começa a se movimentar a partir de t=2.

Passo 2

Transformar a planta para a forma canônica de segunda ordem e extrair parâmetros (vai ajudar a escrever a resposta ao degrau).
  • Compare o denominador com a forma padrão \;s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}.
  • Aqui \omega_n^{2}=10, logo \displaystyle \omega_n=\sqrt{10}.
  • E 2\zeta\omega_n=1, então \displaystyle \zeta=\frac{1}{2\omega_n}=\frac{1}{2\sqrt{10}}.
Vou explicar o que são essas quantidades (didático e direto):
  • \omega_n é a frequência natural não amortecida da segunda ordem (em rad/s). Controla a oscilação natural.
  • \zeta é o fator de amortecimento (adimensional). Se \zeta<1 temos resposta subamortecida (oscilações amortecendo), se \zeta=1 críticamente amortecido, se \zeta>1 superamortecido.
  • Aqui \zeta<1 (pequeno), portanto a resposta ao degrau é subamortecida: oscilações amortecendo exponencialmente.

Passo 3

Expressar a resposta ao degrau (sem atraso) e aplicar o deslocamento no tempo por 2 s.
  • Para a função de transferência padrão com ganho DC igual a 1:
G(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}},
a resposta ao degrau unitário (entrada 1/s) para t\ge 0 é (caso subamortecido, \zeta<1):
y_{\text{step}}(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\,e^{-\zeta\omega_n t}\sin\!\big(\omega_d t+\varphi\big),
onde
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}},\qquad \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta).
Explicando cada termo:
  • e^{-\zeta\omega_n t} é o envelope exponencial decrescente que faz as oscilações diminuírem.
  • \omega_d é a frequência da oscilação amortecida.
  • O fator \dfrac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} é a amplitude inicial (multiplicador da senoide) da contribuição transitória.
  • Como nossa entrada tem atraso de 2 s, a propriedade de deslocamento no tempo dá:
y(t)=0\quad\text{para }t<2,
y(t)=y_{\text{step}}(t-2)\quad\text{para }t\ge 2.

Passo 4

Calcular os parâmetros numéricos necessários (faça as contas devagar, sem pular etapas).
  • \displaystyle \omega_n=\sqrt{10} (mantemos isso exato quando possível).
  • \displaystyle \zeta=\frac{1}{2\sqrt{10}}.
  • Produto \zeta\omega_n=\frac{1}{2\sqrt{10}}\cdot\sqrt{10}=\frac{1}{2}=0,5. (nota: isso simplifica muito a exponencial!)
  • \displaystyle \zeta^{2}=\frac{1}{40}=0,025.
  • \displaystyle \sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{40}}=\sqrt{\frac{39}{40}}.
  • Amplitude multiplicativa:
\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\sqrt{\frac{40}{39}}\approx 1,0127.
  • Frequência amortecida:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{10}\,\sqrt{\frac{39}{40}}=\sqrt{\frac{390}{40}}=\sqrt{9{,}75}\approx 3{,}1225\\ \text{rad/s}.
  • Fase:
\varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{2\sqrt{10}}\big)\approx 1{,}412\\ \text{rad}.

Passo 5

Usar uma cota uniforme para garantir que para todo t futuro a saída permaneça dentro da faixa desejada.
  • Para t\ge 2 escrevemos o desvio da referência 1 como
|y(t)-1|=\left|\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\,e^{-\zeta\omega_n (t-2)}\sin\!\big(\omega_d (t-2)+\varphi\big)\right|.
  • Como |\sin(\cdot)|\le 1 para qualquer argumento, uma cota suficiente (e conservadora, mas segura) é
|y(t)-1|\le \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\,e^{-\zeta\omega_n (t-2)}.
  • Queremos que essa cota fique menor ou igual a 0,05:
\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\,e^{-\zeta\omega_n (t-2)} \le 0,05.

Passo 6

Resolver a desigualdade para t (fazendo as contas passo a passo).
  • Denote \displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\sqrt{\frac{40}{39}}.
  • A desigualdade vira
A\,e^{-\zeta\omega_n (t-2)} \le 0,05.
  • Tomando logaritmo natural e isolando t:
e^{-\zeta\omega_n (t-2)} \le \frac{0,05}{A}
-\zeta\omega_n (t-2) \le \ln\!\left(\frac{0,05}{A}\right)
t-2 \ge -\frac{1}{\zeta\omega_n}\,\ln\!\left(\frac{0,05}{A}\right) = \frac{1}{\zeta\omega_n}\,\ln\!\left(\frac{A}{0,05}\right).
  • Substituir os valores numéricos conhecidos: \zeta\omega_n=0{,}5 e A=\sqrt{40/39}.
t-2 \ge \frac{1}{0{,}5}\,\ln\!\left(\frac{\sqrt{40/39}}{0,05}\right) =2\cdot \ln\!\left(\frac{\sqrt{40/39}}{0,05}\right).
  • Calcular numericamente:
\sqrt{\frac{40}{39}}\approx 1{,}0127,\qquad \frac{1{,}0127}{0,05}\approx 20{,}254.
\ln(20{,}254)\approx 3{,}009\quad(\text{aprox.}).
t-2 \ge 2\cdot 3{,}009 \approx 6{,}018.
t \ge 2 + 6{,}018 \approx 8{,}018\\ \text{s}.

Passo 7

Interpretação final e observação sobre a estimativa.
  • A condição que usamos é uma cota suprema (usamos |\sin|\le 1), portanto o tempo calculado garante que para todo t maior ou igual a esse valor a saída de fato permanecerá dentro de [0,95,1,05]. A resposta real pode entrar na banda um pouco antes (porque a senoide pode não atingir amplitude máxima continuamente), mas para garantir confinamento para todo t a partir de um instante, a cota é o método seguro.
  • Arredondando razoavelmente, podemos dizer que a saída ficará confinada na faixa exigida a partir de aproximadamente 8{,}02 s.

Resposta

t \approx 8,02\\ \text{s}

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