Considere as funções f(x)=-2, p(x)=10-2 x e g(x)=-2 x^{2}+16 x-26 definidas em R. Para que valores de x \in R tem-se:
0<\frac{f(x)}{g(x)}

Passo 1

O enunciado dá as funções definidas em \mathbb{R}:
f(x)=-2,\qquad p(x)=10-2x,\qquad g(x)=-2x^{2}+16x-26.
A pergunta é: para que valores de x\in\mathbb{R} vale
0<\frac{f(x)}{g(x)}\\ ?
Informações relevantes do enunciado:
  • f(x) é a constante -2 (sempre negativa).
  • g(x) é a função quadrática -2x^{2}+16x-26.
  • A expressão \dfrac{f(x)}{g(x)} só está definida quando g(x)\neq 0.
    Não se resolve nada ainda; só identificamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Interpretação da desigualdade e ideia principal (relembrando uma regra de sinais simples):
  • Como f(x)=-2 é negativo para todo x, a fração \dfrac{f(x)}{g(x)} será positiva exatamente quando g(x) for negativo (negativo dividido por negativo é positivo).
  • Se g(x)>0, a fração será negativa.
  • Se g(x)=0, a fração é indefinida (não podemos aceitar esses x).
    Portanto o problema se reduz a resolver a desigualdade
g(x)<0,
e, ao final, excluir os pontos onde g(x)=0.

Passo 3

Escrever g(x) numa forma que facilite analisar o sinal. Vamos completar o quadrado ou fatorar:
g(x)=-2x^{2}+16x-26 = -2\bigl(x^{2}-8x+13\bigr).
Agora completar o quadrado em x^{2}-8x+13:
x^{2}-8x+13 = (x^{2}-8x+16)-3 = (x-4)^{2}-3.
Substituindo:
g(x)=-2\bigl((x-4)^{2}-3\bigr) = -2(x-4)^{2}+6.
Essa forma mostra diretamente que a parábola tem vértice em x=4 e que o máximo é 6 (porque o coeficiente principal é negativo).

Passo 4

Resolver a desigualdade g(x)<0 usando a forma completada:
-2(x-4)^{2}+6<0.
Isolando o quadrado:
-2(x-4)^{2}<-6 \quad\Longrightarrow\quad (x-4)^{2}>3.
Isso equivale a
|x-4|>\sqrt{3},
ou seja
x<4-\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x>4+\sqrt{3}.

Passo 5

Determinar explicitamente as raízes (os pontos onde g(x)=0) para lembrar de excluí-las. Usando a fórmula quadrática em g(x)=-2x^{2}+16x-26:
\Delta = 16^{2}-4(-2)(-26)=256-208=48,
\sqrt{\Delta}=4\sqrt{3},
x=\frac{-16\pm 4\sqrt{3}}{2(-2)}=\frac{-16\pm 4\sqrt{3}}{-4}=4\mp\sqrt{3}.
Portanto as raízes são x=4-\sqrt{3} e x=4+\sqrt{3}. Essas duas devem ser excluídas do conjunto solução porque ali g(x)=0 e a fração não está definida.

Passo 6

Verificação por pontos (checagem rápida, para ganhar confiança):
  • Tome x=0 (que é <4-\sqrt{3}): g(0)=-26<0, então \dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{-2}{-26}>0. OK.
  • Tome x=4 (entre as raízes): g(4)=6>0, então \dfrac{f(4)}{g(4)}=\dfrac{-2}{6}<0. OK.
  • Tome x=7 (que é >4+\sqrt{3}): g(7)=-12<0, então a fração é positiva. OK.
    Esses testes confirmam a análise anterior.

Passo 7

Conclusão: a desigualdade 0<\dfrac{f(x)}{g(x)} é satisfeita quando g(x)<0 e g(x)\neq 0, ou seja exatamente para
x\in(-\infty,\,4-\sqrt{3})\\ \cup\\ (4+\sqrt{3},\,+\infty).

Resposta

\,(-\infty,\,4-\sqrt{3})\cup(4+\sqrt{3},\,+\infty)