Considere as funções
e
definidas em
. Para que valores de
tem-se:
Passo 1
O enunciado dá as funções definidas em
:
A pergunta é: para que valores de
vale
Informações relevantes do enunciado:
-
é a constante (sempre negativa). -
é a função quadrática . - A expressão
só está definida quando .
Não se resolve nada ainda; só identificamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Interpretação da desigualdade e ideia principal (relembrando uma regra de sinais simples):
- Como
é negativo para todo , a fração será positiva exatamente quando for negativo (negativo dividido por negativo é positivo). - Se
, a fração será negativa. - Se
, a fração é indefinida (não podemos aceitar esses ).
Portanto o problema se reduz a resolver a desigualdade
e, ao final, excluir os pontos onde
.
Passo 3
Escrever
numa forma que facilite analisar o sinal. Vamos completar o quadrado ou fatorar:
Agora completar o quadrado em
:
Substituindo:
Essa forma mostra diretamente que a parábola tem vértice em
e que o máximo é
(porque o coeficiente principal é negativo).
Passo 4
Resolver a desigualdade
usando a forma completada:
Isolando o quadrado:
Isso equivale a
ou seja
Passo 5
Determinar explicitamente as raízes (os pontos onde
) para lembrar de excluí-las. Usando a fórmula quadrática em
:
Portanto as raízes são
e
. Essas duas devem ser excluídas do conjunto solução porque ali
e a fração não está definida.
Passo 6
Verificação por pontos (checagem rápida, para ganhar confiança):
- Tome
(que é ): , então . OK. - Tome
(entre as raízes): , então . OK. - Tome
(que é ): , então a fração é positiva. OK.
Esses testes confirmam a análise anterior.
Passo 7
Conclusão: a desigualdade
é satisfeita quando
e
, ou seja exatamente para