Considere as funções abaixo:
(a) Determine o domínio e a imagem de cada função.
(b) Encontre o ponto de intersecção de cada gráfico com o eixo
.
(c) Esboce os gráficos de
e
.
(b) Encontre o ponto de intersecção de cada gráfico com o eixo
(c) Esboce os gráficos de
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
e
Pede-se:
(a) determinar o domínio e a imagem de cada função;
(b) encontrar o ponto de interseção de cada gráfico com o eixo (ou seja, as raízes, onde a função vale zero);
(c) esboçar os gráficos de e
.
(a) determinar o domínio e a imagem de cada função;
(b) encontrar o ponto de interseção de cada gráfico com o eixo
(c) esboçar os gráficos de
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as expressões contêm funções logarítmicas naturais
, com argumentos
e
respectivamente. Não há figura fornecida.
Passo 2
Entendendo domínio para funções com
: a função
está definida somente quando o argumento
é estritamente positivo, isto é, quando
. Isso decorre da definição do logaritmo natural (não faz sentido logaritmo de zero ou números negativos no real).
Aplicando isso a cada função:
Para
o argumento do logaritmo é
. Logo a condição é
Portanto o domínio de
é o conjunto de todos os
tais que
.
Para
o argumento é
. Logo a condição é
Portanto o domínio de
é o conjunto de todos os
tais que
.
Passo 3
Entendendo imagem (alcance) para funções do tipo
deslocadas: a função básica
tem imagem toda a reta real, isto é,
Uma constante adicionada ou subtraída desloca o gráfico verticalmente sem alterar a natureza da imagem: somar
desloca tudo para cima em
unidades; subtrair
desloca tudo para baixo em
unidade. Como
já atinge todos os reais, essas translações verticais também atingirão todos os reais.
Portanto:
- A imagem de
é . - A imagem de
é .
Passo 4
Encontrando intersecções com o eixo
(raízes): para achar onde o gráfico cruza o eixo
resolvemos a equação da função igual a zero.
Para
: resolver
Isolamos o logaritmo:
Agora aplicamos a exponenciação com base
(isto é, usamos que
e que
é o inverso do logaritmo): elevando
aos dois lados obtemos
Note que
é positivo, compatível com o domínio
. Logo a interseção de
com o eixo
é em
, ou seja o ponto
.
Para
: resolver
Isolamos o logaritmo:
Exponenciando ambos os lados:
Logo
Esse valor satisfaz o domínio
. Portanto a interseção de
com o eixo
é em
, ou seja o ponto
.
Passo 5
Pontos úteis e assimptotas para esboçar os gráficos:
Propriedades gerais da função
que usamos para desenhar:
-
é crescente: sua derivada é (para ), que é positiva, então o gráfico sobe. -
é côncavo para baixo: segunda derivada . -
quando e quando .
Aplicado a
:
- Vertical asymptote (assimptota vertical) em
porque o domínio começa em e quando . - Comportamento quando
: (cresce lentamente). - Raiz:
(já encontrada). - Valor em
: como , temos . Então ponto é fácil de marcar. - Formato: curva logarítmica típica, crescente e côncava para baixo, deslocada 2 unidades para cima em relação a
.
Aplicado a
:
- Vertical asymptote em
porque o argumento tende a quando e . - Comportamento quando
: . - Raiz:
. - Não há intercepto com eixo
porque domínio é (logo não está no domínio). - Um ponto fácil para plotar é
: , então temos o ponto . - Formato: a curva de
deslocada uma unidade para direita (porque é ) e uma unidade para baixo (por ), ainda crescente e côncava para baixo.
Passo 6
Instruções práticas para esboçar no papel (faça assim passo a passo):
- Desenhe os eixos
e . - Marque as assíntotas verticais: um traço pontilhado em
(para ) e outro em (para ). - Para
: - Marque o ponto
. Lembre-se que (muito à esquerda, mas positivo). - Marque
. - Desenhe uma curva que vem de
à direita da assíntota , passa por , por e sobe lentamente para ; a curva é crescente e côncava para baixo.
- Marque o ponto
- Para
: - Marque a assíntota vertical em
. - Marque o ponto
. Lembre que . - Marque também
para guiar a forma próxima da assíntota. - Desenhe uma curva começando em
à direita de , passando por , por e subindo para , também crescente e côncava para baixo.
- Marque a assíntota vertical em
- Verifique: as duas curvas não têm interseção obrigatória entre si (poderiam cruzar dependendo dos valores, mas aqui não se pediu intersecção entre as duas curvas, apenas seus esboços).
Resposta
(a) Domínio e imagem:\n
domínio
, imagem
.\n
domínio
, imagem
.\n\n(b) Interseções com o eixo
:\nPara
:
.\nPara
:
.\n\n(c) Esboço (características principais):\n
: assíntota vertical em
; ponto
(raiz) e
; curva crescente e côncava para baixo que vai de
(quando
) a
(quando
).\n
: assíntota vertical em
; ponto
(raiz) e ponto
útil para marcar; curva crescente e côncava para baixo que vai de
(quando
) a
(quando
).