Considere as funções abaixo:
f(x)=\ln (x)+2 \quad \text { e } \quad g(x)=\ln (x-1)-1 .
(a) Determine o domínio e a imagem de cada função.
(b) Encontre o ponto de intersecção de cada gráfico com o eixo x.
(c) Esboce os gráficos de f e g.

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
f(x)=\ln(x)+2
e
g(x)=\ln(x-1)-1.
Pede-se:
(a) determinar o domínio e a imagem de cada função;
(b) encontrar o ponto de interseção de cada gráfico com o eixo x (ou seja, as raízes, onde a função vale zero);
(c) esboçar os gráficos de f e g.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: as expressões contêm funções logarítmicas naturais \ln(\cdot), com argumentos x e x-1 respectivamente. Não há figura fornecida.

Passo 2

Entendendo domínio para funções com \ln: a função \ln(t) está definida somente quando o argumento t é estritamente positivo, isto é, quando t>0. Isso decorre da definição do logaritmo natural (não faz sentido logaritmo de zero ou números negativos no real).
Aplicando isso a cada função:
Para f(x)=\ln(x)+2 o argumento do logaritmo é x. Logo a condição é
x>0.
Portanto o domínio de f é o conjunto de todos os x tais que x>0.
Para g(x)=\ln(x-1)-1 o argumento é x-1. Logo a condição é
x-1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>1.
Portanto o domínio de g é o conjunto de todos os x tais que x>1.

Passo 3

Entendendo imagem (alcance) para funções do tipo \ln deslocadas: a função básica \ln(t) tem imagem toda a reta real, isto é,
\ln:(0,\infty)\to(-\infty,\infty).
Uma constante adicionada ou subtraída desloca o gráfico verticalmente sem alterar a natureza da imagem: somar +2 desloca tudo para cima em 2 unidades; subtrair 1 desloca tudo para baixo em 1 unidade. Como \ln(t) já atinge todos os reais, essas translações verticais também atingirão todos os reais.
Portanto:
  • A imagem de f é (-\infty,\infty).
  • A imagem de g é (-\infty,\infty).

Passo 4

Encontrando intersecções com o eixo x (raízes): para achar onde o gráfico cruza o eixo x resolvemos a equação da função igual a zero.
Para f: resolver
\ln(x)+2=0.
Isolamos o logaritmo:
\ln(x)=-2.
Agora aplicamos a exponenciação com base e (isto é, usamos que e^{\ln(x)}=x e que e^{a}=b é o inverso do logaritmo): elevando e aos dois lados obtemos
x=e^{-2}.
Note que e^{-2} é positivo, compatível com o domínio x>0. Logo a interseção de f com o eixo x é em x=e^{-2}, ou seja o ponto \bigl(e^{-2},0\bigr).
Para g: resolver
\ln(x-1)-1=0.
Isolamos o logaritmo:
\ln(x-1)=1.
Exponenciando ambos os lados:
x-1 = e^{1}=e.
Logo
x=1+e.
Esse valor satisfaz o domínio x>1. Portanto a interseção de g com o eixo x é em x=1+e, ou seja o ponto \bigl(1+e,0\bigr).

Passo 5

Pontos úteis e assimptotas para esboçar os gráficos:
Propriedades gerais da função \ln que usamos para desenhar:
  • \ln é crescente: sua derivada é \dfrac{1}{x} (para x>0), que é positiva, então o gráfico sobe.
  • \ln é côncavo para baixo: segunda derivada -\dfrac{1}{x^{2}}<0.
  • \ln(x)\to-\infty quando x\to 0^{+} e \ln(x)\to\infty quando x\to\infty.
Aplicado a f(x)=\ln(x)+2:
  • Vertical asymptote (assimptota vertical) em x=0 porque o domínio começa em 0^{+} e \ln(x)\to -\infty quando x\to 0^{+}.
  • Comportamento quando x\to\infty: f(x)\to\infty (cresce lentamente).
  • Raiz: \bigl(e^{-2},0\bigr) (já encontrada).
  • Valor em x=1: como \ln(1)=0, temos f(1)=2. Então ponto \bigl(1,2\bigr) é fácil de marcar.
  • Formato: curva logarítmica típica, crescente e côncava para baixo, deslocada 2 unidades para cima em relação a \ln(x).
Aplicado a g(x)=\ln(x-1)-1:
  • Vertical asymptote em x=1 porque o argumento x-1 tende a 0^{+} quando x\to1^{+} e \ln(x-1)\to -\infty.
  • Comportamento quando x\to\infty: g(x)\to\infty.
  • Raiz: \bigl(1+e,0\bigr).
  • Não há intercepto com eixo y porque domínio é x>1 (logo x=0 não está no domínio).
  • Um ponto fácil para plotar é x=2: g(2)=\ln(1)-1=-1, então temos o ponto \bigl(2,-1\bigr).
  • Formato: a curva de \ln deslocada uma unidade para direita (porque é \ln(x-1)) e uma unidade para baixo (por -1), ainda crescente e côncava para baixo.

Passo 6

Instruções práticas para esboçar no papel (faça assim passo a passo):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque as assíntotas verticais: um traço pontilhado em x=0 (para f) e outro em x=1 (para g).
  3. Para f:
    • Marque o ponto \bigl(e^{-2},0\bigr). Lembre-se que e^{-2}\approx 0{,}135 (muito à esquerda, mas positivo).
    • Marque \bigl(1,2\bigr).
    • Desenhe uma curva que vem de -\infty à direita da assíntota x=0, passa por \bigl(e^{-2},0\bigr), por \bigl(1,2\bigr) e sobe lentamente para +\infty; a curva é crescente e côncava para baixo.
  4. Para g:
    • Marque a assíntota vertical em x=1.
    • Marque o ponto \bigl(1+e,0\bigr). Lembre que 1+e\approx 3{,}718.
    • Marque também \bigl(2,-1\bigr) para guiar a forma próxima da assíntota.
    • Desenhe uma curva começando em -\infty à direita de x=1, passando por \bigl(2,-1\bigr), por \bigl(1+e,0\bigr) e subindo para +\infty, também crescente e côncava para baixo.
  5. Verifique: as duas curvas não têm interseção obrigatória entre si (poderiam cruzar dependendo dos valores, mas aqui não se pediu intersecção entre as duas curvas, apenas seus esboços).

Resposta

(a) Domínio e imagem:\n f: domínio \{x\mid x>0\}, imagem (-\infty,\infty).\n g: domínio \{x\mid x>1\}, imagem (-\infty,\infty).\n\n(b) Interseções com o eixo x:\nPara f: \bigl(e^{-2},0\bigr).\nPara g: \bigl(1+e,0\bigr).\n\n(c) Esboço (características principais):\n f: assíntota vertical em x=0; ponto \bigl(e^{-2},0\bigr) (raiz) e \bigl(1,2\bigr); curva crescente e côncava para baixo que vai de -\infty (quando x\to0^+) a +\infty (quando x\to\infty).\n g: assíntota vertical em x=1; ponto \bigl(1+e,0\bigr) (raiz) e ponto \bigl(2,-1\bigr) útil para marcar; curva crescente e côncava para baixo que vai de -\infty (quando x\to1^+) a +\infty (quando x\to\infty).