Considere as funções
F(t)=(t, \operatorname{sen}(t), 2), G(t)=\left(3, t, t^{2}\right)
Calcule:
(c) t^{2} F(t)-2 G(t)

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais de uma variável real t:
F(t)=(t,\\ \operatorname{sen}(t),\\\ 2),\qquad G(t)=\left(3,\\ t,\\ t^{2}\right).
A pergunta (c) é calcular a expressão
t^{2}F(t)-2G(t).
Informações relevantes que temos: cada função é um vetor com três componentes (primeira, segunda e terceira componente); operações com vetores (multiplicação por escalar e subtração) são feitas componente a componente. Não vamos resolver nada ainda, só identificar o pedido e os dados.

Passo 2

Vamos relembrar as regras básicas que vamos usar (a “aula rápida” antes de aplicar):
  • Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Em fórmula, se v(t)=(v_1(t),v_2(t),v_3(t)) e \lambda é um número, então
\lambda v(t)=(\lambda v_1(t),\\ \lambda v_2(t),\\ \lambda v_3(t)).
  • Subtrair dois vetores é subtrair componente a componente. Se u(t)=(u_1,u_2,u_3) e v(t)=(v_1,v_2,v_3), então
u(t)-v(t)=(u_1-v_1,\\ u_2-v_2,\\ u_3-v_3).
Essas são regras simples e fundamentais: pensa que cada componente é independente das outras — a operação atua em cada “posição” do vetor.

Passo 3

Aplicando a primeira regra: calcular t^{2}F(t) significa multiplicar cada componente de F(t) por t^{2}. Então
t^{2}F(t)=\bigl(t^{2}\cdot t,\\ t^{2}\cdot \operatorname{sen}(t),\\ t^{2}\cdot 2\bigr).
Agora simplifico cada produto:
t^{2}F(t)=\bigl(t^{3},\\ t^{2}\operatorname{sen}(t),\\\ 2t^{2}\bigr).
Aqui eu multipliquei direto: t^{2}\cdot t=t^{3}, t^{2}\cdot \operatorname{sen}(t)=t^{2}\operatorname{sen}(t), t^{2}\cdot 2=2t^{2}.

Passo 4

Agora calculo 2G(t) usando a mesma ideia: multiplicar cada componente de G(t) por 2:
2G(t)=\bigl(2\cdot 3,\\\ 2\cdot t,\\\ 2\cdot t^{2}\bigr).
Simplificando:
2G(t)=\bigl(6,\\\ 2t,\\\ 2t^{2}\bigr).

Passo 5

Agora aplico a subtração componente a componente:
t^{2}F(t)-2G(t)=\bigl(t^{3},\\ t^{2}\operatorname{sen}(t),\\\ 2t^{2}\bigr)-\bigl(6,\\\ 2t,\\\ 2t^{2}\bigr).
Subtraindo cada componente:
  • Primeira componente: t^{3}-6.
  • Segunda componente: t^{2}\operatorname{sen}(t)-2t.
  • Terceira componente: 2t^{2}-2t^{2}=0.
Portanto, a expressão fica
t^{2}F(t)-2G(t)=\bigl(t^{3}-6,\\ t^{2}\operatorname{sen}(t)-2t,\\\ 0\bigr).

Resposta

\bigl(t^{3}-6,\\ t^{2}\operatorname{sen}(t)-2t,\\\ 0\bigr)

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