Considere as funções
e
, para
unidades de determinada mercadoria. Qual é a função lucro total?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: a receita total é
e o custo total é
, válidas para
unidades. A pergunta é: qual é a função lucro total (ou função lucro) correspondente a essas funções de receita e custo?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa cada coisa (calma, explico devagar como se estivéssemos estudando juntos). A receita total é o dinheiro recebido pelas vendas; o custo total é quanto se gasta para produzir. A função lucro total, que chamaremos de
, é definida como a diferença entre receita total e custo total. Em fórmula:
Onde
é a quantidade produzida/vendida. Aqui
e
são as funções dadas no enunciado.
Passo 3
Agora substituímos as funções dadas na definição de lucro. Temos
e
. Então:
Vou desenvolver o parêntese e combinar termos semelhantes passo a passo. Primeiro o sinal de menos entra no parêntese:
Agora somamos os termos em
:
. Portanto:
Passo 4
É importante anotar o domínio dessa função lucro: como as funções iniciais valem para
, a função lucro também vale nesse intervalo. Então a forma final é
para
.
Vou dar duas interpretações rápidas que ajudam na prova: o coeficiente de
em
(aqui
) é o lucro marginal por unidade (quanto aumenta o lucro ao vender mais uma unidade). O termo constante (aqui
) mostra que, se não produzir nada (
), você tem um prejuízo de
(custos fixos). Para encontrar o ponto de equilíbrio (break-even), resolve-se
:
Ou seja, vendendo
unidades o lucro é zero; para
há lucro, para
há prejuízo. Esses cálculos são rápidos e úteis na prova.