Considere as funções \mathrm{RT}=3 \mathrm{q} e \mathrm{CT}=6+\mathrm{q}, para \mathbf{0} \leq \mathrm{q} \leq 10 unidades de determinada mercadoria. Qual é a função lucro total?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: a receita total é \mathrm{RT}=3\mathrm{q} e o custo total é \mathrm{CT}=6+\mathrm{q}, válidas para 0\le \mathrm{q}\le 10 unidades. A pergunta é: qual é a função lucro total (ou função lucro) correspondente a essas funções de receita e custo?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa cada coisa (calma, explico devagar como se estivéssemos estudando juntos). A receita total é o dinheiro recebido pelas vendas; o custo total é quanto se gasta para produzir. A função lucro total, que chamaremos de \pi(\mathrm{q}), é definida como a diferença entre receita total e custo total. Em fórmula:
\pi(\mathrm{q})=\mathrm{RT}(\mathrm{q})-\mathrm{CT}(\mathrm{q})
Onde \mathrm{q} é a quantidade produzida/vendida. Aqui \mathrm{RT}(\mathrm{q}) e \mathrm{CT}(\mathrm{q}) são as funções dadas no enunciado.

Passo 3

Agora substituímos as funções dadas na definição de lucro. Temos \mathrm{RT}(\mathrm{q})=3\mathrm{q} e \mathrm{CT}(\mathrm{q})=6+\mathrm{q}. Então:
\pi(\mathrm{q})=3\mathrm{q} - (6+\mathrm{q})
Vou desenvolver o parêntese e combinar termos semelhantes passo a passo. Primeiro o sinal de menos entra no parêntese:
\pi(\mathrm{q})=3\mathrm{q} - 6 - \mathrm{q}
Agora somamos os termos em \mathrm{q}: 3\mathrm{q}-\mathrm{q}=2\mathrm{q}. Portanto:
\pi(\mathrm{q})=2\mathrm{q}-6

Passo 4

É importante anotar o domínio dessa função lucro: como as funções iniciais valem para 0\le \mathrm{q}\le 10, a função lucro também vale nesse intervalo. Então a forma final é \pi(\mathrm{q})=2\mathrm{q}-6 para 0\le \mathrm{q}\le 10.
Vou dar duas interpretações rápidas que ajudam na prova: o coeficiente de \mathrm{q} em \pi(\mathrm{q}) (aqui 2) é o lucro marginal por unidade (quanto aumenta o lucro ao vender mais uma unidade). O termo constante (aqui -6) mostra que, se não produzir nada ( \mathrm{q}=0), você tem um prejuízo de 6 (custos fixos). Para encontrar o ponto de equilíbrio (break-even), resolve-se \pi(\mathrm{q})=0:
2\mathrm{q}-6=0 \Rightarrow 2\mathrm{q}=6 \Rightarrow \mathrm{q}=3.
Ou seja, vendendo 3 unidades o lucro é zero; para \mathrm{q}>3 há lucro, para \mathrm{q}<3 há prejuízo. Esses cálculos são rápidos e úteis na prova.

Resposta

\pi(\mathrm{q})=2\mathrm{q}-6,\quad 0\le \mathrm{q}\le 10

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