Considere
uma função duas vezes diferenciável. Então, a função
é duas vezes diferenciável e satisfaz:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
, onde
é uma função que pode ser diferenciada duas vezes. Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de
. Como
é o produto de duas funções,
e
, usamos a regra do produto:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
, que é a derivada de
. Vamos derivar cada termo separadamente:
Para o primeiro termo, usamos novamente a regra do produto:
Para o segundo termo, também aplicamos a regra do produto:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo:
Simplificando os termos com
:
Somando os termos semelhantes:
Resposta
Então, a segunda derivada de
é: