Considere um gás constituído por N partículas clássicas distribuídas em V células, com
, de modo que cada célula pode estar vazia ou ocupada por uma única partícula do gás. Este sistema é denominado “gás de rede”. O número de modos distintos de distribuir as partículas nas células é dado por:
a) Obtenha uma expressão para a entropia por partícula
, onde
é o volume por partícula.
b) Sabendo que
, encontre uma relação entre a pressão média “p”, o volume por partícula “v” e a temperatura “T” do gás.
c) Escreva uma expansão em série para "
" a partir da relação obtida no item anterior e mostre que o primeiro termo dessa expansão corresponde à lei dos gases ideais.
b) Sabendo que
c) Escreva uma expansão em série para "
Passo 1
O enunciado dá um gás de rede com
partículas e
células, com
. Cada célula pode conter no máximo uma partícula. O número de microestados é
As perguntas são:
(a) Obter a entropia por partícula , onde
é o volume por partícula.
(b) Usando , encontrar uma relação entre
,
e
.
(c) Fazer uma expansão em série para a partir da relação do item (b) e mostrar que o primeiro termo corresponde à lei dos gases ideais.
(a) Obter a entropia por partícula
(b) Usando
(c) Fazer uma expansão em série para
Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos calcular a entropia usando a definição de Boltzmann
onde
é a constante de Boltzmann. Substituindo
temos
Para manipular fatoriais grandes usamos a aproximação de Stirling (explicação curta): para
grande
que é muito útil porque transforma fatoriais em termos mais simples. Aplicando Stirling a
,
e
(assumindo
e
grandes, o que é usual em termodinâmica), obtemos
Substituindo em
,
Note que os termos lineares em
cancelam:
ficando apenas
Passo 3
Agora escrevemos a entropia por partícula
. Usando
e
(ou seja,
), temos
Agora desenvolvemos os logaritmos:
e
. Substituindo,
Agrupando os termos com
:
. Portanto resta
Uma forma alternativa, às vezes mais compacta, é
obtida reescrevendo
.]
Passo 4
Agora usamos a relação termodinâmica dada:
. Como
com
, aplicamos a regra da cadeia:
Mas
implica
. Logo
. Portanto
Vamos calcular
a partir de
. Derivando termo a termo (explicando: derivada de
é
; derivada de
é
),
Portanto obtemos a relação desejada:
Também podemos escrever, multiplicando por
,
ou ainda
Passo 5
Para obter a expansão em série, observe que
logo
Usamos a expansão padrão (válida para
, i.e.
, que é o caso porque
; para
a série diverge)
Tomando
,
Multiplicando por
fica
Passo 6
Interpretando a série: o primeiro termo da expansão de
é
. Assim, ao desprezarmos termos de ordem
e menores (ou seja, no limite de baixo preenchimento / baixa densidade
), obtemos
Reescrevendo por partícula, isso é exatamente a lei dos gases ideais por partícula (às vezes escrita
). Portanto o primeiro termo da expansão corresponde ao comportamento ideal, e os termos seguintes são correções de interação estatística de exclusão de ocupação (efeito da restrição de ocupação máxima 1 por célula).
Resposta
(a)
.\n
(b) (ou
).\n
(c) , de onde
; o primeiro termo dá
, que é a lei dos gases ideais.
(b)
(c)