Considere um gás ideal sofrendo uma expansão isotérmica reversível de um volume \mathbf{V}_{1} para \mathbf{V}_{2}. Demonstre analiticamente, utilizando a integral de P.dV e a equação dos gases ideais, como se chega à expressão \mathbf{W}=-\mathbf{n R T} \ln \left(\mathbf{V}_{\mathbf{2}} / \mathbf{V}_{\mathbf{1}}\right). Explique o papel da temperatura constante nesta dedução.

Passo 1

O enunciado dá: um gás ideal sofre uma expansão isotérmica reversível de um volume \mathbf{V}_{1} para \mathbf{V}_{2}. Pede-se demonstrar analiticamente, usando a integral de P\,dV e a equação dos gases ideais, a expressão
\mathbf{W}=-\mathbf{n R T}\ln\!\left(\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}\right).
Informações relevantes e símbolos (pegos do enunciado):
  • \mathbf{V}_{1} e \mathbf{V}_{2}: volumes inicial e final.
  • \mathbf{n}: número de mols do gás (constante).
  • \mathbf{R}: constante universal dos gases.
  • \mathbf{T}: temperatura absoluta do gás (constante, pois o processo é isotérmico).
  • O processo é reversível (pressão externa infinitesimalmente próxima da pressão do gás durante todo o processo).
O que é pedido:
  • Demonstrar a expressão para \mathbf{W} usando \int P\,dV e a lei dos gases ideais.
  • Explicar o papel de a temperatura ser constante nessa dedução.

Passo 2

Definição do trabalho e convenção de sinais (crucial antes de integrar).
  • Para transformações quasistáticas (reversíveis) a pressão externa é igual à pressão do gás P durante todo o processo.
  • A definição que vamos usar é a do trabalho realizado sobre o sistema (comum em termodinâmica clássica):
\mathbf{W}=-\int_{\mathbf{V}_{1}}^{\mathbf{V}_{2}} P\,dV.
Expliquei: o sinal negativo aparece porque, quando o gás se expande ( dV>0), ele realiza trabalho sobre o redor, portanto o trabalho recebido pelo sistema é negativo. Se preferir a expressão para o trabalho realizado pelo gás, basta trocar o sinal no final (vou comentar isso depois).

Passo 3

Usar a condição de reversibilidade.
  • Em processo reversível a pressão externa \!P_{\text{ext}}\! que faz o trabalho é igual à pressão interna P do gás em cada instante.
  • Assim, na integral de trabalho podemos usar P do próprio gás:
\mathbf{W}=-\int_{\mathbf{V}_{1}}^{\mathbf{V}_{2}} P\,dV.

Passo 4

Substituir a equação dos gases ideais para eliminar P.
  • A equação dos gases ideais é
P V = n R T,
onde cada símbolo significa:
  • P: pressão do gás (função de V durante o processo),
  • V: volume,
  • n: número de mols,
  • R: constante dos gases,
  • T: temperatura absoluta.
  • Como o processo é isotérmico, \;T\; é constante durante toda a transformação. Então podemos reescrever a pressão como função do volume:
P=\frac{n R T}{V}.
  • Observação importante: esta substituição só é válida porque o gás se comporta como ideal e porque conhecemos T constante; caso T variasse não poderíamos tirar T da integral.

Passo 5

Colocar a expressão de P dentro da integral de trabalho.
  • Substituindo P=\dfrac{nRT}{V} em \mathbf{W}=-\int_{\mathbf{V}_{1}}^{\mathbf{V}_{2}} P\,dV obtemos
\mathbf{W}=-\int_{\mathbf{V}_{1}}^{\mathbf{V}_{2}} \frac{n R T}{V}\,dV.

Passo 6

Explicar por que podemos tirar constantes da integral e integrar.
  • Em \dfrac{n R T}{V} as quantidades n, R e T são constantes durante a integração: n e R são sempre constantes e, pelo enunciado, T também é constante (isotérmico). Logo podemos tirar o produto nRT fora da integral:
\mathbf{W}=-n R T \int_{\mathbf{V}_{1}}^{\mathbf{V}_{2}} \frac{dV}{V}.
  • A integral \int \dfrac{dV}{V} é uma integral padrão cuja primitiva é o logaritmo natural:
\int \frac{dV}{V}=\ln V + C.

Passo 7

Calcular a integral definida e aplicar a propriedade do logaritmo.
  • Avaliando a integral definida:
\int_{\mathbf{V}_{1}}^{\mathbf{V}_{2}} \frac{dV}{V}=\left[\ln V\right]_{\mathbf{V}_{1}}^{\mathbf{V}_{2}}=\ln(\mathbf{V}_{2})-\ln(\mathbf{V}_{1})=\ln\!\left(\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}\right).
  • Substituindo no resultado do trabalho:
\mathbf{W}=-n R T \ln\!\left(\frac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}\right).

Passo 8

Interpretação física e papel da temperatura constante.
  • Papel matemático de \mathbf{T} constante: permitiu tirar T fora da integral, transformando a integral numa forma elementar \int dV/V. Se T dependesse de V (não isotérmico), não seria possível fatorá-lo e a integral exigiria conhecer a relação T(V) ou outra equação de estado variável.
  • Papel físico de \mathbf{T} constante: para um gás ideal a energia interna U depende apenas da temperatura (propriedade dos gases ideais mono/di/etc.). Assim, em processo isotérmico:
    • \Delta U = 0.
    • Pela primeira lei da termodinâmica, \Delta U = Q + W, portanto Q = -W: o calor Q recebido pelo sistema é igual em módulo e oposto ao trabalho W realizado sobre o sistema. Em palavras: todo o trabalho feito pelo gás na expansão vem do calor absorvido, mantendo T constante.
  • Observação sobre sinais/convencões: como usamos a convenção “trabalho sobre o sistema” com um sinal negativo na definição inicial, para trabalho realizado pelo gás ( W_{\text{by}}) a expressão correspondente é
W_{\text{by}}=+n R T \ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
Isto só é uma mudança de sinal de convenção; a forma funcional (logaritmo) permanece.

Resposta

\mathbf{W}=-\mathbf{n R T}\ln\!\left(\dfrac{\mathbf{V}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}\right)

Exercícios relacionados