Considere um gás ideal sofrendo uma expansão isotérmica reversível de um volume
para
. Demonstre analiticamente, utilizando a integral de P.dV e a equação dos gases ideais, como se chega à expressão
. Explique o papel da temperatura constante nesta dedução.
Passo 1
O enunciado dá: um gás ideal sofre uma expansão isotérmica reversível de um volume
para
. Pede-se demonstrar analiticamente, usando a integral de
e a equação dos gases ideais, a expressão
Informações relevantes e símbolos (pegos do enunciado):
-
e : volumes inicial e final. -
: número de mols do gás (constante). -
: constante universal dos gases. -
: temperatura absoluta do gás (constante, pois o processo é isotérmico). - O processo é reversível (pressão externa infinitesimalmente próxima da pressão do gás durante todo o processo).
O que é pedido:
- Demonstrar a expressão para
usando e a lei dos gases ideais. - Explicar o papel de a temperatura ser constante nessa dedução.
Passo 2
Definição do trabalho e convenção de sinais (crucial antes de integrar).
- Para transformações quasistáticas (reversíveis) a pressão externa é igual à pressão do gás
durante todo o processo. - A definição que vamos usar é a do trabalho realizado sobre o sistema (comum em termodinâmica clássica):
Expliquei: o sinal negativo aparece porque, quando o gás se expande (
), ele realiza trabalho sobre o redor, portanto o trabalho recebido pelo sistema é negativo. Se preferir a expressão para o trabalho realizado pelo gás, basta trocar o sinal no final (vou comentar isso depois).
Passo 3
Usar a condição de reversibilidade.
- Em processo reversível a pressão externa
que faz o trabalho é igual à pressão interna do gás em cada instante. - Assim, na integral de trabalho podemos usar
do próprio gás:
Passo 4
Substituir a equação dos gases ideais para eliminar
.
- A equação dos gases ideais é
onde cada símbolo significa:
-
: pressão do gás (função de durante o processo), -
: volume, -
: número de mols, -
: constante dos gases, -
: temperatura absoluta. - Como o processo é isotérmico,
é constante durante toda a transformação. Então podemos reescrever a pressão como função do volume:
- Observação importante: esta substituição só é válida porque o gás se comporta como ideal e porque conhecemos
constante; caso variasse não poderíamos tirar da integral.
Passo 5
Colocar a expressão de
dentro da integral de trabalho.
- Substituindo
em obtemos
Passo 6
Explicar por que podemos tirar constantes da integral e integrar.
- Em
as quantidades , e são constantes durante a integração: e são sempre constantes e, pelo enunciado, também é constante (isotérmico). Logo podemos tirar o produto fora da integral:
- A integral
é uma integral padrão cuja primitiva é o logaritmo natural:
Passo 7
Calcular a integral definida e aplicar a propriedade do logaritmo.
- Avaliando a integral definida:
- Substituindo no resultado do trabalho:
Passo 8
Interpretação física e papel da temperatura constante.
- Papel matemático de
constante: permitiu tirar fora da integral, transformando a integral numa forma elementar . Se dependesse de (não isotérmico), não seria possível fatorá-lo e a integral exigiria conhecer a relação ou outra equação de estado variável. - Papel físico de
constante: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura (propriedade dos gases ideais mono/di/etc.). Assim, em processo isotérmico: -
. - Pela primeira lei da termodinâmica,
, portanto : o calor recebido pelo sistema é igual em módulo e oposto ao trabalho realizado sobre o sistema. Em palavras: todo o trabalho feito pelo gás na expansão vem do calor absorvido, mantendo constante.
-
- Observação sobre sinais/convencões: como usamos a convenção “trabalho sobre o sistema” com um sinal negativo na definição inicial, para trabalho realizado pelo gás (
) a expressão correspondente é
Isto só é uma mudança de sinal de convenção; a forma funcional (logaritmo) permanece.