Considere um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes. Mostre que:
(a)
(b) A compressibilidade adiabática resulta ser:
(a)
Passo 1
O enunciado trata de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes
e
. Vamos usar a Primeira e a Segunda Leis da Termodinâmica para um processo reversível, além da equação de estado
, para obter
. Na segunda parte, usaremos a definição de compressibilidade adiabática
e a condição isentrópica
para achar
explicitamente.
Passo 2
Para um processo reversível, a Primeira Lei é
e a Segunda Lei dá
. Como
de um gás perfeito depende só de
, tem-se
. Logo
Usando a equação de estado
, escrevemos
de modo que
Passo 3
Integramos a relação
para obter
Passo 4
Usando
dentro de
, temos
e portanto
Como
, concluímos
Passo 5
Definimos a compressibilidade adiabática por
Para encontrar
, usamos a condição isentrópica
.
Passo 6
Da expressão diferencial de
,
usamos também
(obtida de
). Substituindo:
Isolando
:
Logo
Passo 7
Substituindo em
:
onde definimos
.
Resposta
(a)
(b)
(b)