Considere um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes. Mostre que:
(a)
S=C_{V} \ln P+C_{P} \ln V+\mathrm{const}
(b) A compressibilidade adiabática resulta ser:
\kappa_{S}=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{S}

Passo 1

O enunciado trata de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes C_{V} e C_{P}. Vamos usar a Primeira e a Segunda Leis da Termodinâmica para um processo reversível, além da equação de estado P\,V=R\,T, para obter S(P,V). Na segunda parte, usaremos a definição de compressibilidade adiabática
\kappa_{S}=-\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{S}
e a condição isentrópica dS=0 para achar \kappa_{S} explicitamente.

Passo 2

Para um processo reversível, a Primeira Lei é
dU = \delta Q - P\,dV
e a Segunda Lei dá \delta Q = T\,dS. Como U de um gás perfeito depende só de T, tem-se dU = C_{V}\,dT. Logo
T\,dS = C_{V}\,dT + P\,dV.
Usando a equação de estado P\,V = R\,T, escrevemos
P\,dV = \frac{R\,T}{V}\,dV,
de modo que
dS = \frac{C_{V}\,dT}{T} + \frac{R\,dV}{V}.

Passo 3

Integramos a relação
dS = C_{V}\,\frac{dT}{T} + R\,\frac{dV}{V}
para obter
S = C_{V}\,\ln T + R\,\ln V + \text{const}.

Passo 4

Usando T = \dfrac{P\,V}{R} dentro de \ln T, temos
\ln T = \ln(P\,V) - \ln R
e portanto
S = C_{V}\,\ln\!\bigl(P\,V\bigr) - C_{V}\,\ln R + R\,\ln V + \text{const} = C_{V}\,\ln P + \bigl(C_{V}+R\bigr)\ln V + \text{const}'.
Como C_{P}=C_{V}+R, concluímos
\boxed{S = C_{V}\,\ln P + C_{P}\,\ln V + \mathrm{const}.}

Passo 5

Definimos a compressibilidade adiabática por
\kappa_{S} = -\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{S}.
Para encontrar \bigl(\partial V/\partial P\bigr)_{S}, usamos a condição isentrópica dS=0.

Passo 6

Da expressão diferencial de S,
dS = C_{V}\,\frac{dT}{T} + R\,\frac{dV}{V},
usamos também \displaystyle \frac{dT}{T} = \frac{dP}{P} + \frac{dV}{V} (obtida de P\,V=R\,T). Substituindo:
0 = C_{V}\Bigl(\frac{dP}{P} + \frac{dV}{V}\Bigr) + R\,\frac{dV}{V} = C_{V}\,\frac{dP}{P} + \bigl(C_{V}+R\bigr)\frac{dV}{V} = C_{V}\,\frac{dP}{P} + C_{P}\,\frac{dV}{V}.
Isolando \dfrac{dV}{V}:
\frac{dV}{V} = -\frac{C_{V}}{C_{P}}\,\frac{dP}{P}.
Logo
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{S} = -\frac{C_{V}}{C_{P}}\,\frac{V}{P}.

Passo 7

Substituindo em \kappa_{S}:
\kappa_{S} = -\frac{1}{V}\Bigl(-\frac{C_{V}}{C_{P}}\,\frac{V}{P}\Bigr) = \frac{C_{V}}{C_{P}\,P} = \frac{1}{\gamma\,P},
onde definimos \gamma = C_{P}/C_{V}.

Resposta

(a) \displaystyle S = C_{V}\,\ln P + C_{P}\,\ln V + \mathrm{const}.
(b) \displaystyle \kappa_{S} = -\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{S} = \frac{C_{V}}{C_{P}\,P} = \frac{1}{\gamma\,P}.

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