(a) Mostre que a terceira equação
pode ser escrita como:
(b) Qual resultado essa equação nos forneceria para o caso de uma entropia constante? Justifique!
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a relação fundamental de entropia
é equivalente à terceira equação termodinâmica, usando capacidades térmicas e derivadas parciais. Em seguida, queremos ver o que ocorre quando
(processo adiabático). Vamos precisar de:
- A expressão diferencial de
em função de e . - As definições de
e . - A identidade termodinâmica que relaciona
a derivadas de estado.
Passo 2
Começamos pela diferencial exata de
em variáveis
e
:
Pelo segundo princípio e definições:
Multiplicando tudo por
, obtém-se
Passo 3
Expressamos
como diferencial total em relação às variáveis
e
:
Substituindo em
:
Agrupando termos:
Passo 4
Usamos a identidade que relaciona as capacidades a derivadas de estado:
Multiplicando ambos os lados por
e lembrando que
, obtemos
Logo
Substituindo de volta em
chegamos exatamente a
Passo 5
Portanto mostramos a fórmula pedida em (a):
Passo 6
Para
constante temos
, de modo que
Isso fornece a equação diferencial do processo adiabático:
No caso de gás ideal (
) isso leva a
e, integrando, ao famoso
que é a lei de Poisson para adiabáticas.
Resposta
(a)
(b) Para
obtém-se
que é a condição diferencial do processo adiabático. Para um gás ideal isso dá
constante.