Mostre que, para um gás perfeito, a energia livre de Helmholtz (F=U-T S) e de Gibbs ( G=U+P V-T S ) podem ser escritas, respectivamente, como:
\begin{aligned} F & =\int C_{V} d T-T \int \frac{C_{V}}{T} d T-n R T \ln V-\text { const. } T+\text { const } \\\ G & =\int C_{p} d T-T \int \frac{C_{p}}{T} d T+n R T \ln P-\text { const. } T+\text { const } \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para deduzir, para um gás perfeito, as formas gerais das energias livres de Helmholtz
F=U-T\,S
e de Gibbs
G=U+P\,V-T\,S
em termos de integrais dos calores específicos C_V e C_p. Vamos usar as relações termodinâmicas fundamentais e a equação de estado P\,V=n\,R\,T.
Passo 2
Para qualquer sistema temos as diferenciais de U, F e G: