Considere as massas três partículas e suas respectivas posições. Calcule o valor de w de modo que o centro de massa do sistema fique localizado na posição da massa m2.
m1=4 kg, & x1=3 cm m2=5 kg, & x2=wcm m3=2 kg, & x3=21 cm

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três partículas com massas e posições conhecidas:
  • Massa xcm = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3m1 + m2 + m3 está na posição
  • Massa está na posição (esse é o valor que queremos encontrar)
  • Massa está na posição
A questão quer que a gente encontre o valor de de forma que o centro de massa do sistema fique exatamente na posição de .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de centro de massa, que nos ajuda a encontrar um ponto médio ponderado onde todo o sistema de massas pode ser considerado concentrado. A fórmula do centro de massa ( ) para partículas alinhadas em uma dimensão é:
Precisamos que , ou seja, . Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do centro de massa igualando-a a m1 x1 + m2 w + m3 x3m1 + m2 + m3 = w :
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar essa variável.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador m1 x1 + m2 w + m3 x3 = w (m1 + m2 + m3) para eliminar a fração:

Passo 4

Agora, colocamos todos os termos com m2 w - w (m1 + m2 + m3) = - (m1 x1 + m3 x3) de um lado e os demais do outro:
w (m2 - m1 - m2 - m3) = - (m1 x1 + m3 x3)
Fatoramos w (- m1 - m3) = - (m1 x1 + m3 x3) no lado esquerdo:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 5

Agora, dividimos ambos os lados por w = m1 x1 + m3 x3m1 + m3 para isolar :

Passo 6

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
w = 4 , kg times 3 , cm + 2 , kg times 21 , cm4 , kg + 2 , kg
Calculando o numerador:
4 times 3 = 12 2 times 21 = 42 Total do numerador = 12 + 42 = 54
O denominador é:
4 + 2 = 6

Passo 7

Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar w = 546 = 9 , cm :

Resposta

O valor de é 9 cm.

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