Considere as massas três partículas e suas respectivas posições. Calcule o valor de w de modo que o centro de massa do sistema fique localizado na posição da massa
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos três partículas com massas e posições conhecidas:
- Massa
está na posição - Massa
está na posição (esse é o valor que queremos encontrar) - Massa
está na posição
A questão quer que a gente encontre o valor de
de forma que o centro de massa do sistema fique exatamente na posição de
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de centro de massa, que nos ajuda a encontrar um ponto médio ponderado onde todo o sistema de massas pode ser considerado concentrado. A fórmula do centro de massa (
) para partículas alinhadas em uma dimensão é:
Precisamos que
, ou seja,
. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do centro de massa igualando-a a
:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar essa variável.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador
para eliminar a fração:
Passo 4
Agora, colocamos todos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Fatoramos
no lado esquerdo:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 6
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Calculando o numerador:
O denominador é:
Passo 7
Finalmente, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar
:
Resposta
O valor de
é 9 cm.