Considere \mathcal{L}(f(t))=F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}-4 s+5\right)}. Determine f(t) usando: Frações Parciais Passo 1O enunciado pede para encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\frac{1}{s\bigl(s^2-4s+5\bigr)}, usando frações parciais e depois invertendo cada termo com a transformada inversa de Laplace. Vamos precisar de fatoração quadrática, decomposição em frações parciais e tabela básica de transformadas. Passo 2Fatora-se o denominador não transitivo: s^2 - 4s + 5 = (s-2)^2 + 1. Logo F(s)=\frac{1}{s\bigl((s-2)^2+1\bigr)}. Passo 3Propomos a decomposição em frações parciais \frac{1}{s\bigl((s-2)^2+1\bigr)} =\frac{A}{s}+\frac{B(s-2)+C}{(s-2)^2+1}. Multiplicando ambos os lados por s\bigl((s-2)^2+1\bigr)\), obtemos \[1 = A\bigl((s-2)^2+1\bigr) + \bigl(B(s-2)+C\bigr)s. Expandindo e agrupando em potências de s: 1 = (A+B)\,s^2 +(-4A-2B+C)\,s + 5A. Igualando coeficientes: \begin{cases} A + B = 0,\\\\ -4A -2B + C = 0,\\\\ 5A = 1, \end{cases} de onde A = \tfrac15\], \(B = -\tfrac15, C = \tfrac25. Passo 4Substituindo os valores na decomposição, F(s) =\frac{1/5}{s} +\frac{-\tfrac15\,(s-2)+\tfrac25}{(s-2)^2+1} =\frac{1}{5}\,\frac{1}{s} -\frac{1}{5}\,\frac{s-2}{(s-2)^2+1} +\frac{2}{5}\,\frac{1}{(s-2)^2+1}. Passo 5Usamos as transformadas inversas conhecidas: \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}(t)=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-2}{(s-2)^2+1}\Bigr\}(t)=e^{2t}\cos t, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s-2)^2+1}\Bigr\}(t)=e^{2t}\sin t. Logo, aplicando linearidade, f(t) =\frac{1}{5}\cdot1 -\frac{1}{5}\,e^{2t}\cos t +\frac{2}{5}\,e^{2t}\sin t, para t\ge0. Resposta f(t)=\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{1}{5}e^{2t}\cos t+\frac{2}{5}e^{2t}\sin t. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere \mathcal{L}(f(t))=F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}-4 s+5\right)}. Determine f(t) usando: Frações Parciais Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial: y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 Considere \mathcal{L}(f(t))=F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}-4 s+5\right)}. Determine f(t) usando: Frações Parciais Considere \mathcal{L}(f(t))=F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}-4 s+5\right)}. Determine f(t) usando: Frações Parciais