Considere a matriz A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -4 & -7\end{array}\right) no espaço vetorial real M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) das matrizes 2 \times 2. Encontre o vetor coordenada de A em relação a:
A base canônica \mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -4 & -7\end{pmatrix}
no espaço vetorial M_{2\times2}(\mathbb{R}) e a base canônica
\mathcal{E} = \Bigl\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\Bigr\},
onde
E_{11} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\;E_{12} = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;E_{21} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\;E_{22} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Queremos expressar A como combinação linear desses vetores e, a partir daí, extrair o vetor coordenada.

Passo 2

Escrevemos
A = a\,E_{11} + b\,E_{12} + c\,E_{21} + d\,E_{22}.
Comparando entradas em cada posição, obtemos
a = 2,\quad b = 3,\quad c = -4,\quad d = -7.

Passo 3

Os coeficientes \{a,b,c,d\} na ordem da base \mathcal{E} formam o vetor coordenada de A.

Resposta

\begin{pmatrix} 2\\\\ 3\\\\ -4\\\\ -7 \end{pmatrix}

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