Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & -1\end{array}\right]
a) Calcule o \operatorname{det}\left(A^{n}\right) para todo número natural n.
b) Usando escalonamento encontre a matriz inversa A^{-1}.
e pede:
a) \det(A^n) para n\in\mathbb{N}.
b) A^{-1} via escalonamento.
Para (a) vamos usar a propriedade \det(A^n)=(\det A)^n.
Para (b) aplicamos eliminação de Gauss na matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr].
Passo 2
Calcular \det A pelo desenvolvimento da primeira linha:
\det A = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&-1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&3\end{pmatrix}.