Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & -1\end{array}\right]
a) Calcule o \operatorname{det}\left(A^{n}\right) para todo número natural n.
b) Usando escalonamento encontre a matriz inversa A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}
e pede:
a) \det(A^n) para n\in\mathbb{N}.
b) A^{-1} via escalonamento.
Para (a) vamos usar a propriedade \det(A^n)=(\det A)^n.
Para (b) aplicamos eliminação de Gauss na matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr].

Passo 2

Calcular \det A pelo desenvolvimento da primeira linha:
\det A = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&-1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&-1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&3\end{pmatrix}.
Agora
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&-1\end{pmatrix}=-1-6=-7,\quad \det\begin{pmatrix}1&2\\\ 0&-1\end{pmatrix}=-1,\quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&3\end{pmatrix}=3.
Logo
\det A = 1\cdot(-7)-2\cdot(-1)+3\cdot3 = -7+2+9 = 4.

Passo 3

Pela propriedade de determinante de potência,
\det(A^n) = \bigl(\det A\bigr)^n = 4^n.

Passo 4

Montamos a matriz aumentada e eliminamos abaixo do pivô da coluna 1:
\bigl[A\mid I\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 2 &\mid& 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 3 & -1&\mid& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo R_2\leftarrow R_2-R_1 obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & -1&\mid& -1&1&0\\\\ 0 & 3 & -1 &\mid& 0 &0 &1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Pivotamos na linha 2 dividindo por -1 e eliminamos na coluna 2:
R_2\leftarrow -R_2\;\Rightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &\mid& 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 &\mid& 1 & -1 &0\\\\ 0 & 3 & -1&\mid& 0 & 0 &1 \end{pmatrix}.
Então R_1\leftarrow R_1-2R_2 e R_3\leftarrow R_3-3R_2
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &\mid& -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 &\mid& 1 & -1 &0\\\\ 0 & 0 & -4&\mid& -3&3&1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Pivotamos na linha 3 dividindo por -4 e eliminamos na coluna 3:
R_3\leftarrow \tfrac1{-4}R_3,\quad R_1\leftarrow R_1-R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-R_3
leva a
\bigl[I\mid A^{-1}\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid& -\tfrac{7}{4} & \tfrac{11}{4} & \tfrac{1}{4}\\\\ 0 & 1 & 0 &\mid& \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{4}\\\\ 0 & 0 & 1 &\mid& \tfrac{3}{4} & -\tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.

Resposta

a) \det(A^n)=4^n.
b)
A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -7 & 11 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 3 & -3 & -1 \end{pmatrix}.

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