Considere as matrizes
A=[cccc2 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 & -1]
B=[cccc -3 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 ]
Calcule det(A+B^T), det(A cdot B), det(A cdot B^-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! A gente tem duas matrizes, e , e precisa calcular três determinantes diferentes: , e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, transposição de matrizes, multiplicação de matrizes e matrizes inversas. Vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e aplicar algumas propriedades básicas deles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular B = -3 & 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & 1 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 . Mas antes, precisamos encontrar a matriz transposta de B^T = -3 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 , ou seja, A + B^T = 2 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 & -1 + -3 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 = -1 & 0 & 0 & 0 2 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 0 2 & 0 & 2 & 0 .
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, vamos transpor a matriz det(A + B^T) = 0 :
Transpondo, temos:
Agora, somamos e :
Agora, para encontrar o determinante dessa matriz, observamos que todas as colunas, exceto a primeira, são multiplicadas por zero, o que torna o cálculo do determinante bem simples. Na verdade, qualquer matriz que tenha uma coluna ou linha composta apenas por zeros terá determinante igual a zero.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular det(A cdot B) = det(A) times det(B) . Uma das propriedades importantes dos determinantes é que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Em outras palavras:
det(A) = 2 times (-1) times 1 times (-1) = 2 times (-1) = -2
Então, primeiro precisamos calcular det(B) = (-3) times 1 times (-1) times 1 = (-3) times (-1) = 3 e det(A cdot B) = det(A) times det(B) = (-2) times 3 = -6 .
Observando as matrizes e , vemos que ambas são matrizes triangulares ( é triangular inferior e é triangular superior). O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Para a matriz :
Para a matriz :
Agora, aplicando a propriedade:

Passo 4

Por fim, vamos calcular det(B^-1) = 1det(B) . Para isso, vamos usar outra propriedade dos determinantes que envolve a matriz inversa:
det(A cdot B^-1) = det(A) times det(B^-1) = det(A) times 1det(B)
Então, o determinante do produto det(A cdot B^-1) = (-2) times 13 = -23 será:
Já calculamos anteriormente que e . Substituindo:

Resposta

det(A + B^T) = 0, det(A cdot B) = -6, det(A cdot B^-1) = -23

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