A pergunta que precisamos responder é o item (d): calcular, quando possível,
\left( B A^{T} - 2 C \right)^{T}.
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
A é uma matriz de dimensão 3\times2.
B é uma matriz de dimensão 2\times2.
C é uma matriz de dimensão 2\times3.
A expressão envolve produto, soma (subtração), multiplicação por escalar e transposta de matrizes.]
Passo 2
Verificação de compatibilidade de dimensões para as operações (muito importante antes de calcular):
Primeiro calculemos A^{T}. Como A é 3\times2, então A^{T} é 2\times3.
O produto B A^{T} envolve B que é 2\times2 e A^{T} que é 2\times3. Esses tamanhos são compatíveis (colunas de B = linhas de A^{T}), e o resultado terá dimensão 2\times3.
A matriz 2C tem a mesma dimensão de C, isto é 2\times3.
Assim B A^{T} - 2C é uma subtração entre matrizes 2\times3 e o resultado é 2\times3.
Finalmente, a transposta de uma matriz 2\times3 será uma matriz 3\times2, que é a dimensão esperada para \left( B A^{T} - 2C \right)^{T}.
Passo 3
Relembrando propriedade útil das transpostas (pequena aula):
Para matrizes X e Y de mesma dimensão vale (X-Y)^{T}=X^{T}-Y^{T}.
Para produto de matrizes compatíveis vale (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Para escalar \lambda e matriz X vale (\lambda X)^{T}=\lambda X^{T}.
Essas propriedades permitem transformar \left( B A^{T} - 2 C \right)^{T} em uma expressão alternativa, mas aqui vamos calcular numericamente passo a passo para ficar bem claro.
Passo 4
Calcular A^{T} explicitamente (pegando os elementos de A fornecidos):