Considere as matrizes:
A=\left[\begin{array}{rr} -1 & 2 \\\\ 3 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{lll} 3 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & 2 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
Quando possível, calcule o que se pede:
(d) \left(B A^{T}-2 C\right)^{T}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (copiadas do enunciado):
A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}3 & 1 & 5 \\[4pt] 1 & 4 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta que precisamos responder é o item (d): calcular, quando possível,
\left( B A^{T} - 2 C \right)^{T}.
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é uma matriz de dimensão 3\times2.
  • B é uma matriz de dimensão 2\times2.
  • C é uma matriz de dimensão 2\times3.
  • A expressão envolve produto, soma (subtração), multiplicação por escalar e transposta de matrizes.]

Passo 2

Verificação de compatibilidade de dimensões para as operações (muito importante antes de calcular):
  • Primeiro calculemos A^{T}. Como A é 3\times2, então A^{T} é 2\times3.
  • O produto B A^{T} envolve B que é 2\times2 e A^{T} que é 2\times3. Esses tamanhos são compatíveis (colunas de B = linhas de A^{T}), e o resultado terá dimensão 2\times3.
  • A matriz 2C tem a mesma dimensão de C, isto é 2\times3.
  • Assim B A^{T} - 2C é uma subtração entre matrizes 2\times3 e o resultado é 2\times3.
  • Finalmente, a transposta de uma matriz 2\times3 será uma matriz 3\times2, que é a dimensão esperada para \left( B A^{T} - 2C \right)^{T}.

Passo 3

Relembrando propriedade útil das transpostas (pequena aula):
  • Para matrizes X e Y de mesma dimensão vale (X-Y)^{T}=X^{T}-Y^{T}.
  • Para produto de matrizes compatíveis vale (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
  • Para escalar \lambda e matriz X vale (\lambda X)^{T}=\lambda X^{T}.
    Essas propriedades permitem transformar \left( B A^{T} - 2 C \right)^{T} em uma expressão alternativa, mas aqui vamos calcular numericamente passo a passo para ficar bem claro.

Passo 4

Calcular A^{T} explicitamente (pegando os elementos de A fornecidos):
A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 3 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{T}=\begin{pmatrix}-1 & 3 & 1 \\[4pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Explanação: a transposta troca linhas por colunas; a primeira linha de A^{T} é a primeira coluna de A, etc.]

Passo 5

Calcular o produto B A^{T}. Escrevendo A^{T} por colunas para facilitar a multiplicação:
A^{T}=\begin{pmatrix}-1 & 3 & 1 \\[4pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{tem colunas}\quad \begin{pmatrix}-1\\[2pt] 2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}3\\[2pt] 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Multiplicando B=\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} por cada coluna:
  • Primeira coluna resultante:
\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\[2pt] 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\cdot(-1)+(-1)\cdot 2 \\[4pt] 0\cdot(-1)+2\cdot 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6 \\[4pt] 4\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna resultante:
\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[2pt] 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\cdot 3 + (-1)\cdot 0 \\[4pt] 0\cdot 3 + 2\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
  • Terceira coluna resultante:
\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[2pt] 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\cdot 1 + (-1)\cdot 1 \\[4pt] 0\cdot 1 + 2\cdot 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 \\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Juntando as colunas, obtemos
B A^{T}=\begin{pmatrix}-6 & 12 & 3 \\[4pt] 4 & 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o escalar vezes C:
C=\begin{pmatrix}3 & 1 & 5 \\[4pt] 1 & 4 & 2\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad 2C=\begin{pmatrix}6 & 2 & 10 \\[4pt] 2 & 8 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Subtrair 2C de B A^{T} elemento a elemento:
B A^{T}-2C =\begin{pmatrix}-6 & 12 & 3 \\[4pt] 4 & 0 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 & 2 & 10 \\[4pt] 2 & 8 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12 & 10 & -7 \\[4pt] 2 & -8 & -2\end{pmatrix}.
Explanação: subtração de matrizes é feita componente a componente, exigindo mesmas dimensões (aqui ambas 2\times3).]

Passo 8

Agora aplicamos a transposta à matriz resultante. Tomando a transposta de
M:=B A^{T}-2C=\begin{pmatrix}-12 & 10 & -7 \\[4pt] 2 & -8 & -2\end{pmatrix},
temos que M^{T} troca linhas por colunas:
  • Primeira coluna de M é \begin{pmatrix}-12\\[2pt] 2\end{pmatrix} que vira primeira linha de M^{T}.
  • Segunda coluna de M é \begin{pmatrix}10\\[2pt] -8\end{pmatrix} que vira segunda linha de M^{T}.
  • Terceira coluna de M é \begin{pmatrix}-7\\[2pt] -2\end{pmatrix} que vira terceira linha de M^{T}.
Portanto
\left( B A^{T} - 2 C \right)^{T} = \begin{pmatrix}-12 & 2 \\[4pt] 10 & -8 \\[4pt] -7 & -2\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}-12 & 2 \\[4pt] 10 & -8 \\[4pt] -7 & -2\end{pmatrix}]