Considere o modelo em função de transferência de um determinado sistema dinâmico
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{9,41}{s\left(0,0001 s^{2}+0,061 s+2\right)} \quad[\text { u.s. } / \mathrm{V}]
onde [u.s.] significa “unidades da saída”. Sabendo que o sensor utilizado possui modelo em função de transferência igual a
H(s)=0,1 \quad[\mathrm{~V} / \text { u.s. }],
deseja-se projetar um compensador Avanço/Atraso de fase através do método de resposta em frequência, cujas especificações são:
Saída em regime permanente igual a 60 [u.s.];
Erro em regime permanente para entrada do tipo rampa unitária menor ou igual a 0,05 [u.s.];
Overshoot menor ou igual a 15 \%;
Tempo de acomodação menor ou igual a 0,5[\mathrm{~s}].
(a) Qual deve ser o sinal de referência em tensão?
(b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
(c) Quais são os parâmetros do compensador?
(d) O compensador resultante é do tipo Avanço ou Atraso de fase? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o modelo do processo e do sensor e pede um projeto de compensador Avanço/Atraso (via método de resposta em frequência) com várias especificações no tempo e em regime permanente. Vou listar claramente o que foi pedido e o que foi dado:
Pedidos (questões do enunciado):
(a) Qual deve ser o sinal de referência em tensão?
(b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
(c) Quais são os parâmetros do compensador?
(d) O compensador resultante é do tipo Avanço ou Atraso de fase? Justifique.
Dados fornecidos:
Planta (funcão de transferência do sistema, em unidades da saída por volt):
Sensor (converte saída [u.s.] em tensão de realimentação [V]):
H(s)=0,1 \quad[\mathrm{V}/\text{u.s.}]
Especificações no tempo/regime:
Saída em regime permanente igual a 60 [u.s.];
Erro em regime permanente para entrada rampa unitária menor ou igual a 0,05 [u.s.];
Overshoot \le 15\%;
Tempo de acomodação (settling time) \le 0,5 s.
Observações (importantes para a resolução que vem a seguir):
Vou supor realimentação negativa padrão com o sensor em laço de realimentação (entrada de referência em volts, realimentação é H(s)Y(s) em volts). A partir daí determinamos os requisitos em frequência e projetamos o compensador.
Não faço mudanças no enunciado; uso os números exatamente como fornecidos.
Passo 2
(a) Determinar o sinal de referência (em volts) que leva a saída em regime permanente para 60 [u.s.].
Explicação didática: O sensor converte a saída y (em u.s.) em uma tensão de realimentação igual a v_{fb}=H\cdot y. Em um sistema de malha fechada bem projetado a regra prática é: para que a saída em regime permanente valha y_{\infty}, a tensão de referência r (em volts) deve ser igual ao valor de tensão que o sensor produz para essa saída, se o erro em regime for (praticamente) zero. Ou seja:
r \approx H \cdot y_{\infty}.
Aplicando aos números dados:
r = 0,1 \cdot 60 = 6 \quad\text{[V].}
Interpretação: com realimentação, quando o sistema estiver em regime e o erro for (aproximadamente) zero, a tensão de referência precisa ser 6 V para obter 60 u.s.
Passo 3
(b) Converter as especificações de tempo/regime para especificações no domínio da frequência (ou seja, em termos de ganho em baixa frequência, margem de fase e banda/crossover).
Vou transformar cada especificação, explicando as fórmulas usadas.
Erro em regime para rampa unitária:
Teoria: Para um sistema em malha com open-loop L(s)=C(s)G(s)H(s), o erro de saída para uma rampa unitária r(t)=t (transformada R(s)=1/s^{2}) ée_{\infty}=\lim_{t\to\infty} (r(t)-y(t)) = \frac{1}{K_v},onde a constante de velocidade éK_v=\lim_{s\to 0} s\;L(s).Portanto, para garantir e_{\infty}\le 0,05 [u.s.] com rampa unitária, precisamos\frac{1}{K_v}\le 0,05 \quad\Longrightarrow\quad K_v\ge 20.Observação: aqui L(s)=C(s)G(s)H(s) inclui o sensor H(s).
Overshoot \le 15\% → requisito em margem de fase:
Teoria: Para um sistema dominado por pólos de segunda ordem equivalentes, a relação entre overshoot máximo M_p e razão de amortecimento \zeta éM_p = e^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.Dados M_p\le 0{,}15, resolvemos para \zeta:\zeta \approx \frac{-\ln(0{,}15)}{\sqrt{\pi^{2}+(\ln(0{,}15))^{2}}}\approx 0{,}517.
Relação com margem de fase (PM): para sistemas desenhados pela resposta em frequência, existe uma relação prática entre \zeta e a margem de fase desejada. Usando a fórmula que aproxima a margem de fase correspondente ao amortecimento:\text{PM}\approx \arctan\!\left(\frac{2\zeta}{\sqrt{-2\zeta^{2}+\sqrt{1+4\zeta^{4}}}}\right)\quad(\text{em radianos}),convertendo para graus e substituindo \zeta=0{,}517 obtemos\text{PM}\approx 53^\circ\\ (\text{aprox.}).Intuição: para overshoot menor que 15\% devemos projetar a margem de fase em torno de 53^\circ (ou um pouco mais, por segurança).
Tempo de acomodação (settling time) T_s\le 0{,}5 s:
Teoria (critério 2%): para um sistema aproximadamente de segunda ordem,T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n},onde \omega_n é a frequência natural. Impomos T_s\le 0{,}5 s e usamos \zeta\approx 0{,}517:\omega_n \ge \frac{4}{\zeta T_s} = \frac{4}{0{,}517\cdot 0{,}5}\approx 15{,}48\\ \text{rad/s}.
Relação prática com projeto em frequência: a frequência de cruzamento de ganho (gain crossover) \omega_{c} costuma ser adotada próxima da banda / frequência natural para que a resposta em frequência represente bem os pólos dominantes. Assim impomos aproximadamente\omega_{c}\gtrsim 15{,}5\\ \text{rad/s}.
Síntese das especificações em frequência:
Constante de velocidade: K_v=\lim_{s\to0} s\,C(s)G(s)H(s)\ge 20.
Margem de fase desejada: \text{PM}\approx 53^\circ (ou maior, margem de segurança 5–10° é comum).
Frequência de cruzamento (objetivo): \omega_c \gtrsim 15{,}5\\ \text{rad/s}.
Passo 4
Análise do plant e requisito de ganho em baixa frequência (calcular quanto de ganho é necessário em DC para satisfazer K_v).
Calcular K_{v,\text{planta}} sem controlador (i.e., com C(s)=1):
Defina L_0(s)=G(s)H(s). Para obter K_v sem controlador:K_{v0}=\lim_{s\to 0} s\,L_0(s)=\lim_{s\to 0} s\;G(s)H(s).
Primeiro, calcule o comportamento em s\to 0 de G(s):G(s)\xrightarrow[s\to 0]{}\frac{9{,}41}{s\cdot 2} = \frac{4{,}705}{s}.(porque o termo quadrático e o termo em s na parte entre parênteses vão a 0 ao fazer s\to 0).
LogoK_{v0}=\lim_{s\to 0} s\cdot L_0(s)=0{,}4705.Interpretação: sem controlador, a constante de velocidade é muito pequena (\approx 0{,}47), portanto o erro para rampa seria 1/0{,}47\approx 2{,}13 u.s., bem maior que 0{,}05.
Ganho em DC necessário do controlador:
Queremos K_v \ge 20. Como K_v=\lim_{s\to0} s\,C(s)G(s)H(s)=C(0)\cdot K_{v0} (se C(s) é regular em s=0), então precisamosC(0)\ge \frac{20}{K_{v0}}=\frac{20}{0{,}4705}\approx 42{,}54.Interpretação: o ganho DC do compensador deve ser pelo menos cerca de 42{,}54 para garantir o erro de rampa pedido.
Passo 5
Projeto em frequência: selecionar um \omega_c objetivo e verificar margem de fase e tempo de acomodação. Em seguida escolher o compensador.
Escolha de \omega_c:
Tomamos \omega_c igual ao requisito vindo do tempo de acomodação. Vou usar \omega_c \approx 16–18 rad/s (valor ligeiramente acima do mínimo 15{,}5 para margens de projeto). Escolherei \omega_c \approx 18\\ \text{rad/s} por conveniência numérica (isso dá margem e facilita a verificação).
Avaliar o ganho e fase do laço sem controlador em \omega_c (isto é, avaliar G(j\omega)H(j\omega) em \omega=18 rad/s):
Vamos calcular G(j\omega) em \omega=18. Primeiro avalie a parte quadrática:0{,}0001 (j\omega)^2 + 0{,}061 (j\omega) + 2 = -0{,}0001\omega^{2} + j\,0{,}061\omega + 2.Para \omega=18:-0{,}0001\cdot 18^{2} = -0{,}0324,\quad 0{,}061\cdot 18 = 1{,}098.Logo a soma é 2-0{,}0324 + j\,1{,}098 = 1{,}9676 + j\,1{,}098.
Multiplicando por s=j\omega dá o denominador total:s(\cdots)=j\omega(1{,}9676 + j\,1{,}098)= -\omega\cdot 1{,}098 + j\,\omega\cdot 1{,}9676.Substituindo \omega=18:D(j18) \approx -19{,}764 + j\,35{,}4168.
Módulo do denominador:|D(j18)| \approx \sqrt{(-19{,}764)^{2}+(35{,}417)^{2}}\approx 40{,}56.
Módulo da planta:|G(j18)|=\frac{9{,}41}{|D(j18)|}\approx \frac{9{,}41}{40{,}56}\approx 0{,}232.
Com o sensor H=0{,}1, o módulo de G(j\omega)H(j\omega) em \omega=18 é|G(j18)H(j18)|\approx 0{,}232\cdot 0{,}1=0{,}0232.
Para ter crossover em \omega_c precisamos que |L(j\omega_c)|=1, ou seja |C(j\omega_c)|\cdot |G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1.
Assim o ganho (magnitude) requerido do compensador em \omega_c=18 é|C(j18)|=\frac{1}{0{,}0232}\approx 43{,}10.Observação: isto é muito consistente com o requisito de ganho DC calculado antes (aprox. 42{,}54). Um ganho puro constante K na faixa de 42–43 colocará o crossover em torno de 18 rad/s.
Fase do laço em \omega=18 sem compensador:
Ângulo do denominador D(j18): dado D=-19{,}764 + j\,35{,}417, o argumento é\angle D = 180^\circ - \arctan\!\left(\frac{35{,}417}{19{,}764}\right)\approx 119{,}1^\circ.Assim a fase de G(j18) é \angle G(j18) \approx -119{,}1^\circ. O sensor é real positivo (fase zero). Logo, se o compensador for um ganho real positivo, a fase total do laço em \omega=18 será -119{,}1^\circ.
A margem de fase resultante seria\text{PM}=180^\circ + \angle L(j\omega_c) \approx 180^\circ -119{,}1^\circ = 60{,}9^\circ.Isso é maior que o mínimo desejado 53^\circ, logo a margem de fase está atendida com margem extra (bom).
Verificação do tempo de acomodação com \omega_c\approx 18:
Conclusão deste passo: um ganho estático do compensador em torno de K\approx 42{,}5 a 43{,}1 satisfaz simultaneamente
o requisito K_v\ge 20 (erro rampa),
coloca o crossover em \omega_c\approx 18\\ \text{rad/s} (logo atende T_s),
fornece margem de fase \approx 61^\circ (logo atende M_p\le 15\%).
Passo 6
(c) Determinação explícita dos parâmetros do compensador e justificativa didática.
Escolha do tipo de compensador:
Observação prática: para aumentar a constante de velocidade K_v sem prejudicar a margem de fase e cumprimento do tempo, normalmente usa-se um compensador do tipo Atraso (lag) que aumenta ganho em baixa frequência, ou um ganho proporcional suficiente (caso simples). Aqui, números mostram que um ganho proporcional único K comK\approx \frac{20}{K_{v0}}\approx 42{,}54já satisfaz todas as especificações (verificámos que com K nessa faixa o crossover fica perto de 18 rad/s, a margem de fase fica \approx 61^\circ e T_s fica abaixo de 0{,}5 s). Portanto o design mínimo/completo é um compensador puramente proporcional (ganho estático).
Parâmetro numérico do compensador:
Vou fixar o valor do ganho para garantir exatamente K_v=20. Como vimos:K_v = K\cdot K_{v0},\quad K_{v0}=0{,}4705 \Rightarrow K=\frac{20}{0{,}4705}\approx 42{,}54.
Assim proponho o compensador simples (controlador proporcional):C(s)=K=42{,}54.
Verificações finais (resumo numérico):
Em \omega\approx 18 rad/s, com C(j\omega)=42{,}54:|L(j18)| \approx 42{,}54\cdot 0{,}0232 \approx 0{,}988\\ (\text{próximo de }1),óou seja crossover próximo a 18 rad/s.
Fase do laço em crossover \approx -119{,}1^\circ → \text{PM}\approx 60{,}9^\circ (atende 53^\circ).
K_v=20 → erro rampa =1/K_v=0{,}05 u.s. (atende o máximo permitido).
T_s\approx 0{,}43 s (atende 0{,}5 s).
Overshoot previsto compatível com \zeta\approx 0{,}517 (o que se traduz em M_p\approx 15\% ou menor, e a margem de fase confirma isso).
Observação didática adicional:
Se desejássemos usar explicitamente um compensador do tipo Atraso (lag), poderíamos projetar um lag com ganho DC igual a K e com polo/zero colocados muito abaixo de \omega_c para não alterar a fase em torno de \omega_c. Mas como um ganho puro já resolve as especificações, não há vantagem prática em introduzir um lag adicional complexo no laço. Em projetos industriais costuma-se preferir um pequeno lag quando se quer aumentar muito o ganho DC sem alterar o ganho em \omega_c, mas aqui o ganho necessário não causa problema de estabilidade e os critérios são satisfeitos com C(s) puramente proporcional.
Passo 7
(d) Decisão sobre o tipo do compensador (Avanço ou Atraso) e justificativa.
Resultado: o compensador projetado é um ganho proporcional puro C(s)=42{,}54. Um ganho puro não é, estritamente falando, nem um compensador de avanço (lead) nem um de atraso (lag) porque não acrescenta polos nem zeros (não altera a fase em função da frequência). Entretanto, do ponto de vista funcional:
A especificação mais crítica de regime permanente (erro de rampa) foi satisfeita aumentando o ganho DC. Em muitos projetos isso seria feito por um compensador do tipo atraso (lag), pois o lag fornece ganho adicional em baixa frequência sem reduzir demasiadamente a margem de fase na região de crossover. Portanto a “necessidade funcional” (melhorar erro em regime) é típica de um compensador do tipo Atraso.
No entanto, numericamente e em termos práticos, um ganho proporcional (que é um caso particular simples) já atende todas as especificações sem necessidade de criar polo/zero adicionais. Logo, não foi necessário implementar um compensador de Avanço (lead) nem um compensador de Atraso (lag) com polos/zeros — basta o ganho.
Justificativa final curta: pelas contas, aumentando o ganho estático até K\approx 42{,}54 obtemos K_v=20, crossover em \approx 18 rad/s, margem de fase \approx 61^\circ e T_s\approx 0{,}43 s; portanto não é necessário inserir avanço de fase. Se quiséssemos formalmente “aumentar ganho DC sem mexer na fase”, um compensador do tipo Atraso é o instrumento clássico — mas na solução numérica o efeito do ganho puro já satisfaz o objetivo. Conclusão: o compensador necessário pode ser implementado apenas como um ganho (não há necessidade de Avanço); funcionalmente, a estratégia adotada corresponde à finalidade típica de um compensador de Atraso (melhorar erro em regime), porém sem inserir polos/zeros (ou seja, o compensador é um ganho proporcional).
(c) C(s)=K com K=\dfrac{20}{0{,}4705}\approx 42{,}54.
(d) O compensador projetado é essencialmente um ganho proporcional (não é necessário um Avanço). Funcionalmente, a especificação de melhorar o erro em regime é típica de um compensador do tipo Atraso, mas numericamente um ganho K\approx 42{,}54 já atende todas as especificações, portanto não se inclui um polo/zero de avanço/atraso adicional.