Para o mesmo sistema do exercício anterior, projete um controlador PID com as seguintes especificações:
  • Saída em regime permanente igual a 45 [u.s.];
  • Erro em regime permanente para entrada do tipo parábola unitária menor ou igual a 0,5 [u.s.];
  • Overshoot menor ou igual a 10 \%;
  • Tempo de acomodação menor ou igual a 0,25[\mathrm{~s}].
    (a) Qual deve ser o sinal de referência em tensão?
    (b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
    (c) Quais são os parâmetros do controlador?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes especificações (vou listar exatamente o que foi pedido):
  • Saída em regime permanente igual a 45 [u.s.];
  • Erro em regime permanente para entrada do tipo parábola unitária menor ou igual a 0,5 [u.s.];
  • Overshoot menor ou igual a 10\%;
  • Tempo de acomodação (settling time) menor ou igual a 0{,}25 [s].
As perguntas são:
(a) Qual deve ser o sinal da referência em tensão?
(b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
(c) Quais são os parâmetros do controlador PID?
Importante: o enunciado diz “Para o mesmo sistema do exercício anterior”. Essa informação é essencial porque os cálculos numéricos do controlador (item (c)) e do sinal da referência (item (a)) dependem da função de transferência da planta G(s) (ou, alternativamente, dos dados do laço aberto). Como você não me enviou essa função de transferência nem os dados do exercício anterior, não é possível determinar numericamente os parâmetros do PID nem o sinal numérico exato da referência. Vou, portanto:
  • Explicar passo a passo e didaticamente como transformar cada requisito em uma especificação de frequência (faço todas as deduções matemáticas);
  • Dizer exatamente que informação falta para obter os números finais e explicar como obter esses números quando você tiver a G(s);
  • Fornecer regras claras e fórmulas que você poderá aplicar rapidamente na prova caso a planta seja dada lá.

Passo 2

O que significa “sinal da referência” e como decidir?
  • Em laço fechado de referência R(s) para saída Y(s) temos a função de transferência de malha fechada
T(s)=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)},
onde C(s) é o controlador e G(s) é a planta.
  • O valor em regime permanente para uma entrada constante R_0 (por exemplo um degrau) é
y_{ss}=R_0\cdot T(0)=R_0\cdot \lim_{s\to0} \frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}.
  • Logo, para obter y_{ss}=45 a amplitude e o sinal da referência R_0 devem satisfazer
R_0 = \frac{45}{T(0)}.
  • Conclusão prática sobre o sinal: o sinal de R_0 deve ser escolhido de modo que o produto R_0\cdot T(0) tenha sinal positivo compatível com a saída desejada +45. Ou seja:
    • Se \displaystyle T(0)>0, escolha R_0>0;
    • Se \displaystyle T(0)<0, escolha R_0<0.
  • Problema: sem conhecer \displaystyle \lim_{s\to0}C(s)G(s) (ou pelo menos o sinal da G(0) e das ações do controlador), não dá para afirmar numericamente o sinal de R_0. Por isso, não posso dizer “positivo” ou “negativo” de forma definitiva sem a planta.

Passo 3

Transformando o requisito “erro para parabola ≤ 0,5” em uma condição utilitária
  • Primeiro, o que é “entrada do tipo parábola unitária”? A forma de Laplace padrão da parábola unitária (entrada do tipo t^2/2) é
R(s)=\frac{1}{s^3}.
(Em muitos textos “parábola unitária” corresponde a r(t)=\frac{t^2}{2}, cujo R(s)=1/s^3.)
  • Defina a função de laço aberto L(s)=C(s)G(s).
  • Para entradas polinomiais existe a noção de “tipo” do sistema: o tipo n é o número de polos integradores em L(s) (ou seja quantas potências de 1/s há em L(s) no limite s\to0).
  • Para um sinal polinomial de ordem m (parábola tem m=2), o erro em regime estacionário:
    • é infinito se tipo <m,
    • é finito e igual a 1/K_a se tipo =m,
    • é zero se tipo >m.
  • Para m=2 (parábola) precisamos que o sistema tenha tipo 2 para obter erro finito. O “constante de aceleração” é
K_a=\lim_{s\to0} s^2 L(s)=\lim_{s\to0} s^2 C(s)G(s).
  • Se o sistema for tipo 2, o erro em regime permanente para R(s)=1/s^3 é
e_{ss}=\frac{1}{K_a}.
  • O requisito e_{ss}\le 0{,}5 implica
\frac{1}{K_a}\le 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad K_a \ge 2.
  • Interpretação prática:
    • A condição mínima é \displaystyle \lim_{s\to0} s^2 C(s)G(s)\ge 2.
    • Se a planta já tiver um integrador (por exemplo G(s) com um polo em s=0), então um controlador com um integrador (PI ou PID com termo integral) pode tornar o laço do tipo 2.
    • Se a planta não tiver integradores, o controlador terá de fornecer dois integradores (controlador com ação integradora dupla) — um PID padrão tem só um integrador; portanto, depende da G(s) se um PID simples será suficiente para atingir K_a\ge2.

Passo 4

Passo didático: relacionando overshoot máximo com damping ratio \zeta
  • Para um segundo-ordem dominante com polos complexos conjugados, o overshoot máximo (porcentagem) é dado por
M_p = e^{\displaystyle -\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
  • Queremos M_p \le 0{,}10 (10%). Então impomos
e^{\displaystyle -\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\le 0{,}10.
  • Tomando logaritmo:
-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\le \ln(0{,}10) = -2{,}302585\dots
  • Isolando \zeta (faço as contas devagar):
    1. Passe o sinal: \displaystyle \frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\ge 2{,}302585.
    2. Eleve ao quadrado:
    \frac{\pi^2 \zeta^2}{1-\zeta^2}\ge 2{,}302585^2 \approx 5{,}3019.
    1. Reorganizando:
    \zeta^2 \left(\pi^2 + 5{,}3019\right) \ge 5{,}3019 \quad\Rightarrow\quad \zeta^2 \ge \frac{5{,}3019}{\pi^2+5{,}3019}.
    1. Calculando numericamente:
    \zeta^2 \ge 0{,}3493 \quad\Rightarrow\quad \zeta \ge 0{,}591.
  • Conclusão: para M_p\le 10\% precisamos de
\boxed{\zeta \ge 0{,}591.}

Passo 5

Passo didático: relacionando tempo de acomodação T_s com \omega_n e \zeta
  • Para um sistema aproximado por um segundo-ordem dominante, o tempo de acomodação (critério de 2\%) é usualmente aproximado por
T_s \approx \frac{4}{\zeta \,\omega_n}.
  • Temos T_s \le 0{,}25 s e já obtivemos \zeta \ge 0{,}591. Para garantir o T_s pedido conservadoramente, usamos \zeta=0{,}591 (caso borderline):
\omega_n \ge \frac{4}{\zeta\, T_s} = \frac{4}{0{,}591\times 0{,}25} \approx 27{,}07\\ \text{rad/s}.
  • Interpretação: devemos ter polos dominantes com frequência natural \omega_n \gtrsim 27{,}1 rad/s e amortecimento \zeta\ge 0{,}591. O polo real equivalente (parte real) dos dominantes é
\sigma = -\zeta \omega_n \approx -0{,}591\times 27{,}07 \approx -16{,}0.
Ou seja, os modos dominantes devem estar à esquerda de \operatorname{Re}(s) \approx -16.

Passo 6

Convertendo essas metas para requisitos no domínio da frequência (resumo claro e aplicável)
  • Requisito de erro para parabola: K_a=\lim_{s\to0} s^2 L(s)=\lim_{s\to0} s^2 C(s)G(s) \ge 2.(Isto é uma condição de baixo-frequência: ganho em s\to0 deve crescer como 1/s^2 suficiente para que s^2L(s)\ge 2.)
  • Requisito de overshoot: \zeta \ge 0{,}591 \quad\Rightarrow\quad \text{isso se traduz em uma margem de fase mínima (Phase Margin) a ser escolhida.}íAproximação prática usada em projeto por frequência: pedir uma margem de fase PM tal que gere \zeta\ge 0{,}591. Uma regra prática conservadora é exigir PM \gtrsim 50^\circ\text{–}60^\circ.(O valor exato depende da dinâmica de ordem superior; o projetista escolhe um PM nessa faixa e confere o overshoot no modelo fechado.)
  • Requisito de tempo de acomodação: \omega_n \gtrsim 27{,}07\\ \text{rad/s}.Em termos de projeto por Bode, isso implica escolher a freqüência de cruzamento de ganho (gain crossover) aproximadamente \omega_c \approx \omega_n \approx 27\\ \text{rad/s}(novamente isso é uma aproximação prática: você quer que a largura de banda fechada esteja nessa ordem para que os polos dominantes tenham \omega_n desejada).
  • Resumindo em itens de frequência que você usará no projeto:
    1. Baixa frequência: garantir \lim_{s\to0} s^2 L(s)\ge 2 (condição para erro de parábola).
    2. Bandwidth / crossover: \omega_c \approx 27\\ \text{rad/s}.
    3. Margem de fase: escolher PM\gtrsim 50^\circ (para garantir \zeta\ge 0{,}591 e então M_p\le 10\%).
    4. Margem de ganho: suficiente para robustez (normalmente >6 dB), avaliada após projeto.

Passo 7

Como projetar um PID prático (procedimento passo a passo que você usa quando tiver G(s))
  1. Primeiro determine o tipo atual da planta: calcule \lim_{s\to0} s^k G(s) para ver quantos integradores já existem (k=0,1,2,…).
    • Se planta já for tipo 2 (dois integradores), então um PID pode bastar e você só ajusta ganho.
    • Se planta for tipo 1, um controlador com um integrador (PI ou PID) leva o sistema para tipo 2 — bom.
    • Se planta for tipo 0 (sem integradores), um PID (que tem um integrador único) tornará tipo 1 — insuficiente para parábola; então seria necessário adicionar integrador extra (controlador I^2 ou reestruturar).
  2. Decida a estrutura do PID. Use a forma prática
C(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_i s}+ \frac{T_d s}{1+\frac{T_d}{N}s}\right)
(com filtro na derivada para evitar ruído; N tipicamente entre 5 e 20).
3. Satisfazer K_a\ge2:
  • Ajuste T_i e a presença de integradores de modo que \lim_{s\to0} s^2 C(s)G(s)\ge2.
  • Isso normalmente fixa a contribuição em baixa frequência (integradores determinam comportamento em s\to0).
  1. Escolher \omega_c\approx 27 rad/s:
    • Use análise de Bode de G(s) e do C(s) provisório; ajuste K_p para que |L(j\omega_c)|=1 em \omega_c.
  2. Ajustar T_d (e N) para fornecer fase suficiente em torno de \omega_c e atingir PM\gtrsim 50^\circ.
  3. Verificar:
    • Calcule o \zeta implícito (ou simplesmente simule o passo) para confirmar M_p\le10\%.
    • Calcule T_s do passo simulado para confirmar T_s\le0{,}25 s.
    • Verifique K_a e o erro para parábola.
  4. Se alguma condição falhar, itere: normalmente altera-se T_i (que afeta K_a e fase em baixa frequência), T_d (que adiciona fase perto de \omega_c) e K_p (que define \omega_c) até satisfazer todas as condições.

Passo 8

O que falta para eu te dar os números do item (c) (passo direto que você pode usar na prova se tiver a planta):
  • Preciso da função de transferência da planta G(s) (ou dos dados do exercício anterior: polos, zeros e ganhos).
  • Com G(s) eu calculo:
    1. o tipo da planta (número de integradores),
    2. G(0) e \lim_{s\to0} s^2 G(s),
    3. desenho do diagrama de Bode para obter a fase em \omega próximos de 27 rad/s,
    4. a partir daí escolho T_i,T_d,K_p seguindo o procedimento do passo anterior e calculo K_a e PM explicitamente.

Resposta

(a) Não é possível determinar o sinal da referência numericamente sem conhecer a planta G(s). Regra prática: escolha o sinal de R_0 tal que R_0\cdot T(0)=45 e, portanto, se \displaystyle T(0)>0 use referência positiva; se \displaystyle T(0)<0 use referência negativa.
(b) Especificações em frequência: \displaystyle K_a=\lim_{s\to0}s^2C(s)G(s)\ge 2 (para erro de parábola ≤0,5); frequência de cruzamento desejada \omega_c\approx\omega_n\gtrsim 27{,}07\\ \text{rad/s} (para T_s\le 0{,}25 s com \zeta\ge0{,}591); margem de fase PM\gtrsim 50^\circ (prática) para garantir \zeta\ge0{,}591 e M_p\le10\%.
(c) Não é possível fornecer parâmetros numéricos do PID sem a função de transferência da planta. Procedimento prático: identificar o tipo da planta; assegurar tipo 2 combinado (plant+controlador) para K_a\ge2; escolher \omega_c\approx27 rad/s e ajustar K_p para |L(j\omega_c)|=1; usar T_d e filtro para alcançar PM\gtrsim50^\circ; escolher T_i para garantir o integrador necessário.

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