Para o mesmo sistema do exercício anterior, projete um controlador PID com as seguintes especificações:
- Saída em regime permanente igual a 45 [u.s.];
- Erro em regime permanente para entrada do tipo parábola unitária menor ou igual a 0,5 [u.s.];
- Overshoot menor ou igual a
;
- Tempo de acomodação menor ou igual a
.
(a) Qual deve ser o sinal de referência em tensão?
(b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
(c) Quais são os parâmetros do controlador?
(a) Qual deve ser o sinal de referência em tensão?
(b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
(c) Quais são os parâmetros do controlador?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes especificações (vou listar exatamente o que foi pedido):
- Saída em regime permanente igual a
[u.s.]; - Erro em regime permanente para entrada do tipo parábola unitária menor ou igual a
[u.s.]; - Overshoot menor ou igual a
; - Tempo de acomodação (settling time) menor ou igual a
[s].
As perguntas são:
(a) Qual deve ser o sinal da referência em tensão?
(b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
(c) Quais são os parâmetros do controlador PID?
(a) Qual deve ser o sinal da referência em tensão?
(b) Quais são as especificações correspondentes no domínio da frequência?
(c) Quais são os parâmetros do controlador PID?
Importante: o enunciado diz “Para o mesmo sistema do exercício anterior”. Essa informação é essencial porque os cálculos numéricos do controlador (item (c)) e do sinal da referência (item (a)) dependem da função de transferência da planta
(ou, alternativamente, dos dados do laço aberto). Como você não me enviou essa função de transferência nem os dados do exercício anterior, não é possível determinar numericamente os parâmetros do PID nem o sinal numérico exato da referência. Vou, portanto:
- Explicar passo a passo e didaticamente como transformar cada requisito em uma especificação de frequência (faço todas as deduções matemáticas);
- Dizer exatamente que informação falta para obter os números finais e explicar como obter esses números quando você tiver a
; - Fornecer regras claras e fórmulas que você poderá aplicar rapidamente na prova caso a planta seja dada lá.
Passo 2
O que significa “sinal da referência” e como decidir?
- Em laço fechado de referência
para saída temos a função de transferência de malha fechada
onde
é o controlador e
é a planta.
- O valor em regime permanente para uma entrada constante
(por exemplo um degrau) é
- Logo, para obter
a amplitude e o sinal da referência devem satisfazer
- Conclusão prática sobre o sinal: o sinal de
deve ser escolhido de modo que o produto tenha sinal positivo compatível com a saída desejada . Ou seja: - Se
, escolha ; - Se
, escolha .
- Se
- Problema: sem conhecer
(ou pelo menos o sinal da e das ações do controlador), não dá para afirmar numericamente o sinal de . Por isso, não posso dizer “positivo” ou “negativo” de forma definitiva sem a planta.
Passo 3
Transformando o requisito “erro para parabola ≤ 0,5” em uma condição utilitária
- Primeiro, o que é “entrada do tipo parábola unitária”? A forma de Laplace padrão da parábola unitária (entrada do tipo
) é
(Em muitos textos “parábola unitária” corresponde a
, cujo
.)
- Defina a função de laço aberto
. - Para entradas polinomiais existe a noção de “tipo” do sistema: o tipo
é o número de polos integradores em (ou seja quantas potências de há em no limite ). - Para um sinal polinomial de ordem
(parábola tem ), o erro em regime estacionário: - é infinito se tipo
, - é finito e igual a
se tipo , - é zero se tipo
.
- é infinito se tipo
- Para
(parábola) precisamos que o sistema tenha tipo para obter erro finito. O “constante de aceleração” é
- Se o sistema for tipo
, o erro em regime permanente para é
- O requisito
implica
- Interpretação prática:
- A condição mínima é
. - Se a planta já tiver um integrador (por exemplo
com um polo em ), então um controlador com um integrador (PI ou PID com termo integral) pode tornar o laço do tipo 2. - Se a planta não tiver integradores, o controlador terá de fornecer dois integradores (controlador com ação integradora dupla) — um PID padrão tem só um integrador; portanto, depende da
se um PID simples será suficiente para atingir .
- A condição mínima é
Passo 4
Passo didático: relacionando overshoot máximo com damping ratio
- Para um segundo-ordem dominante com polos complexos conjugados, o overshoot máximo (porcentagem) é dado por
- Queremos
(10%). Então impomos
- Tomando logaritmo:
- Isolando
(faço as contas devagar): - Passe o sinal:
. - Eleve ao quadrado:
- Reorganizando:
- Calculando numericamente:
- Passe o sinal:
- Conclusão: para
precisamos de
Passo 5
Passo didático: relacionando tempo de acomodação
com
e
- Para um sistema aproximado por um segundo-ordem dominante, o tempo de acomodação (critério de
) é usualmente aproximado por
- Temos
s e já obtivemos . Para garantir o pedido conservadoramente, usamos (caso borderline):
- Interpretação: devemos ter polos dominantes com frequência natural
rad/s e amortecimento . O polo real equivalente (parte real) dos dominantes é
Ou seja, os modos dominantes devem estar à esquerda de
.
Passo 6
Convertendo essas metas para requisitos no domínio da frequência (resumo claro e aplicável)
- Requisito de erro para parabola:
(Isto é uma condição de baixo-frequência: ganho em deve crescer como suficiente para que .) - Requisito de overshoot:
Aproximação prática usada em projeto por frequência: pedir uma margem de fase tal que gere . Uma regra prática conservadora é exigir (O valor exato depende da dinâmica de ordem superior; o projetista escolhe um nessa faixa e confere o overshoot no modelo fechado.) - Requisito de tempo de acomodação:
Em termos de projeto por Bode, isso implica escolher a freqüência de cruzamento de ganho (gain crossover) aproximadamente (novamente isso é uma aproximação prática: você quer que a largura de banda fechada esteja nessa ordem para que os polos dominantes tenham desejada). - Resumindo em itens de frequência que você usará no projeto:
- Baixa frequência: garantir
(condição para erro de parábola). - Bandwidth / crossover:
. - Margem de fase: escolher
(para garantir e então ). - Margem de ganho: suficiente para robustez (normalmente
dB), avaliada após projeto.
- Baixa frequência: garantir
Passo 7
Como projetar um PID prático (procedimento passo a passo que você usa quando tiver
)
- Primeiro determine o tipo atual da planta: calcule
para ver quantos integradores já existem (k=0,1,2,…). - Se planta já for tipo 2 (dois integradores), então um PID pode bastar e você só ajusta ganho.
- Se planta for tipo 1, um controlador com um integrador (PI ou PID) leva o sistema para tipo 2 — bom.
- Se planta for tipo 0 (sem integradores), um PID (que tem um integrador único) tornará tipo 1 — insuficiente para parábola; então seria necessário adicionar integrador extra (controlador I^2 ou reestruturar).
- Decida a estrutura do PID. Use a forma prática
(com filtro na derivada para evitar ruído;
tipicamente entre 5 e 20).
3. Satisfazer :
3. Satisfazer
- Ajuste
e a presença de integradores de modo que . - Isso normalmente fixa a contribuição em baixa frequência (integradores determinam comportamento em
).
- Escolher
rad/s: - Use análise de Bode de
e do provisório; ajuste para que em .
- Use análise de Bode de
- Ajustar
(e ) para fornecer fase suficiente em torno de e atingir . - Verificar:
- Calcule o
implícito (ou simplesmente simule o passo) para confirmar . - Calcule
do passo simulado para confirmar s. - Verifique
e o erro para parábola.
- Calcule o
- Se alguma condição falhar, itere: normalmente altera-se
(que afeta e fase em baixa frequência), (que adiciona fase perto de ) e (que define ) até satisfazer todas as condições.
Passo 8
O que falta para eu te dar os números do item (c) (passo direto que você pode usar na prova se tiver a planta):
- Preciso da função de transferência da planta
(ou dos dados do exercício anterior: polos, zeros e ganhos). - Com
eu calculo: - o tipo da planta (número de integradores),
-
e , - desenho do diagrama de Bode para obter a fase em
próximos de rad/s, - a partir daí escolho
seguindo o procedimento do passo anterior e calculo e explicitamente.
Resposta
(a) Não é possível determinar o sinal da referência numericamente sem conhecer a planta
. Regra prática: escolha o sinal de
tal que
e, portanto, se
use referência positiva; se
use referência negativa.
(b) Especificações em frequência: (para erro de parábola ≤0,5); frequência de cruzamento desejada
(para
s com
); margem de fase
(prática) para garantir
e
.
(c) Não é possível fornecer parâmetros numéricos do PID sem a função de transferência da planta. Procedimento prático: identificar o tipo da planta; assegurar tipo combinado (plant+controlador) para
; escolher
rad/s e ajustar
para
; usar
e filtro para alcançar
; escolher
para garantir o integrador necessário.
(b) Especificações em frequência:
(c) Não é possível fornecer parâmetros numéricos do PID sem a função de transferência da planta. Procedimento prático: identificar o tipo da planta; assegurar tipo