Considere
como números inteiros positivos. Mostre que se
objetos forem colocados em
caixas, então para
, a
-ésima caixa terá pelo menos
objetos.
Passo 1
O enunciado diz que temos
caixas e inteiros positivos
. Colocamos nelas
objetos de modo arbitrário. Precisamos mostrar que existe pelo menos um índice
tal que a caixa
contenha pelo menos
objetos. O conteúdo usado será o Princípio da Casa dos Pombos, em sua forma de argumento por contradição.
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que nenhuma caixa
tenha
ou mais objetos. Então cada caixa
tem no máximo
objetos. Somando sobre todas as caixas, o número total de objetos ficaria no máximo
Passo 3
Mas pela hipótese colocamos exatamente
objetos, e claramente
Isso contradiz a suposição de que nenhuma caixa alcançaria
objetos. Logo a suposição é falsa.
Resposta
Existe pelo menos um índice
tal que a caixa
contenha pelo menos
objetos.