Considere n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{t} como números inteiros positivos. Mostre que se n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}-t+1 objetos forem colocados em t caixas, então para i, i=1,2, \ldots, t, a i-ésima caixa terá pelo menos n_{i} objetos.

Passo 1

O enunciado diz que temos t caixas e inteiros positivos n_{1},n_{2},\dots,n_{t}. Colocamos nelas
N \;=\; n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t} \;-\;t\;+\;1
objetos de modo arbitrário. Precisamos mostrar que existe pelo menos um índice i\in\{1,2,\dots,t\} tal que a caixa i contenha pelo menos n_{i} objetos. O conteúdo usado será o Princípio da Casa dos Pombos, em sua forma de argumento por contradição.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que nenhuma caixa i tenha n_{i} ou mais objetos. Então cada caixa i tem no máximo n_{i}-1 objetos. Somando sobre todas as caixas, o número total de objetos ficaria no máximo
\sum_{i=1}^{t}(n_{i}-1) \;=\; \Bigl(\sum_{i=1}^{t}n_{i}\Bigr)\;-\;t.

Passo 3

Mas pela hipótese colocamos exatamente
N \;=\;\sum_{i=1}^{t}n_{i}\;-\;t\;+\;1
objetos, e claramente
\sum_{i=1}^{t}n_{i}\;-\;t \;<\; \sum_{i=1}^{t}n_{i}\;-\;t\;+\;1.
Isso contradiz a suposição de que nenhuma caixa alcançaria n_{i} objetos. Logo a suposição é falsa.

Resposta

Existe pelo menos um índice i\in\{1,2,\dots,t\} tal que a caixa i contenha pelo menos n_{i} objetos.

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