Considere que n mols de um gás ideal realize uma expansão livre e adiabática, passando do volume V_{0} ao volume 2 V_{0}. Determine a variação de entropia nesse processo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Informação: n mols de um gás ideal realizam uma expansão livre e adiabática, do volume V_{0} para o volume 2V_{0}.
  • Informação implícita (definição de expansão livre): a expansão ocorre contra vácuo (nenhum trabalho de borda), ou equivalente, não há trabalho de pressão externo.
  • Pedido: determinar a variação de entropia do gás entre o estado inicial (V_0) e o estado final (2V_0).

Passo 2

Entender o que significa “expansão livre e adiabática” para energia e temperatura:
  • “Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente, portanto Q=0 para o processo real.
  • Em uma expansão livre (por exemplo, remoção de uma separação para um reservatório de vácuo) não há trabalho de pressão realizado pelo gás sobre o ambiente, então W=0.
  • Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica:
\Delta U = Q - W.
Para este processo real temos Q=0 e W=0, logo
\Delta U=0.
  • Para um gás ideal, a energia interna U depende apenas da temperatura T. Assim \Delta U=0 implica que a temperatura do gás permanece a mesma entre os estados inicial e final:
T_{\text{inicial}} = T_{\text{final}} \equiv T.

Passo 3

Esclarecer a definição de entropia e a estratégia para calculá-la:
  • Entropia S é uma função de estado; a variação de entropia entre dois estados de equilíbrio depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho real seguido.
  • A definição prática que vamos usar é
\Delta S=\int_{\text{inicial}}^{\text{final}}\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\mathrm{rev}} é o calor trocado ao longo de um caminho reversível que leve do mesmo estado inicial ao mesmo estado final. Mesmo que o processo real seja irreversível (como a expansão livre), podemos escolher um caminho reversível conveniente que conecte os mesmos estados e calcular \Delta S por essa integral.
  • Como vimos no Passo 2, os estados inicial e final têm a mesma temperatura T. Uma escolha natural e simples de caminho reversível que liga os dois estados é uma expansão isotérmica reversível do volume V_0 para 2V_0 à temperatura T.

Passo 4

Calcular \Delta S usando um caminho reversível isotérmico:
  • Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o calor reversível trocado é igual ao trabalho reversível:
\delta Q_{\mathrm{rev}}=\delta W_{\mathrm{rev}}=p_{\mathrm{rev}}\,dV.
  • A pressão do gás ideal no caminho reversível é dada pela equação de estado do gás ideal:
p_{\mathrm{rev}}=\frac{nRT}{V},
onde n é o número de mols, R é a constante universal dos gases perfeitos e T é a temperatura (aqui constante).
  • Substituindo em \delta Q_{\mathrm{rev}}:
\delta Q_{\mathrm{rev}}=\frac{nRT}{V}\,dV.
  • Agora aplicamos a definição de \Delta S:
\Delta S=\int_{V_0}^{2V_0}\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T} =\int_{V_0}^{2V_0}\frac{1}{T}\cdot\frac{nRT}{V}\,dV =nR\int_{V_0}^{2V_0}\frac{dV}{V}.

Passo 5

Avaliar a integral e interpretar o resultado:
  • Calcule a integral:
nR\int_{V_0}^{2V_0}\frac{dV}{V}=nR\left[\ln V\right]_{V_0}^{2V_0}=nR\ln\!\left(\frac{2V_0}{V_0}\right)=nR\ln 2.
  • Interpretação física: a variação de entropia é positiva ( \Delta S>0), o que faz sentido — a expansão livre é irreversível e aumenta a entropia do gás mesmo sem troca de calor com o ambiente. Numericamente, por mol, \Delta S_{\text{por mol}}=R\ln 2\approx 8{,}314\cdot0{,}693\approx 5{,}76\\ \mathrm{J\,K^{-1}} por mol (se for útil lembrar uma ordem de grandeza).
  • Observação sobre as variáveis: n é número de mols (adimensional), R é a constante dos gases ideais ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}), e \ln é o logaritmo natural.

Resposta

\Delta S = nR\ln 2