Considere que
mols de um gás ideal realize uma expansão livre e adiabática, passando do volume
ao volume
. Determine a variação de entropia nesse processo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Informação:
mols de um gás ideal realizam uma expansão livre e adiabática, do volume para o volume . - Informação implícita (definição de expansão livre): a expansão ocorre contra vácuo (nenhum trabalho de borda), ou equivalente, não há trabalho de pressão externo.
- Pedido: determinar a variação de entropia do gás entre o estado inicial
e o estado final .
Passo 2
Entender o que significa “expansão livre e adiabática” para energia e temperatura:
- “Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente, portanto
para o processo real. - Em uma expansão livre (por exemplo, remoção de uma separação para um reservatório de vácuo) não há trabalho de pressão realizado pelo gás sobre o ambiente, então
. - Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica:
Para este processo real temos
e
, logo
- Para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura . Assim implica que a temperatura do gás permanece a mesma entre os estados inicial e final:
Passo 3
Esclarecer a definição de entropia e a estratégia para calculá-la:
- Entropia
é uma função de estado; a variação de entropia entre dois estados de equilíbrio depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho real seguido. - A definição prática que vamos usar é
onde
é o calor trocado ao longo de um caminho reversível que leve do mesmo estado inicial ao mesmo estado final. Mesmo que o processo real seja irreversível (como a expansão livre), podemos escolher um caminho reversível conveniente que conecte os mesmos estados e calcular
por essa integral.
- Como vimos no Passo 2, os estados inicial e final têm a mesma temperatura
. Uma escolha natural e simples de caminho reversível que liga os dois estados é uma expansão isotérmica reversível do volume para à temperatura .
Passo 4
Calcular
usando um caminho reversível isotérmico:
- Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal, o calor reversível trocado é igual ao trabalho reversível:
- A pressão do gás ideal no caminho reversível é dada pela equação de estado do gás ideal:
onde
é o número de mols,
é a constante universal dos gases perfeitos e
é a temperatura (aqui constante).
- Substituindo em
:
- Agora aplicamos a definição de
:
Passo 5
Avaliar a integral e interpretar o resultado:
- Calcule a integral:
- Interpretação física: a variação de entropia é positiva (
), o que faz sentido — a expansão livre é irreversível e aumenta a entropia do gás mesmo sem troca de calor com o ambiente. Numericamente, por mol, por mol (se for útil lembrar uma ordem de grandeza). - Observação sobre as variáveis:
é número de mols (adimensional), é a constante dos gases ideais ( ), e é o logaritmo natural.