Considere n(n>2) pontos em um plano, entre os quais não há 3 pontos colineares. Quantas são as retas que contêm dois desses pontos? Qual é o número máximo de pontos de interseção dessas retas?

Passo 1

O enunciado dá n pontos no plano, com n>2 e sem três colineares, e pede:
– o número de retas que passam por dois desses pontos;
– o número máximo de pontos de interseção entre essas retas.
Conteúdo: contagem de combinações e posições gerais de linhas (sem paralelismo e sem concórdios extras).

Passo 2

Cada reta é determinada por um par de pontos distintos. O número de maneiras de escolher 2 pontos dentre n é
\binom{n}{2}.
Logo há \binom{n}{2} retas distintas.

Passo 3

Para contar os pontos de interseção distintos, note que toda interseção de duas retas cai em dois tipos de ponto:
  1. um dos n pontos originais (quando as duas retas compartilham esse ponto);
  2. uma interseção “nova” de duas retas que não têm ponto em comum (isto é, vêm de pares disjuntos de pontos originais).

Passo 4

O número de interseções novas equivale ao número de escolhas de dois pares disjuntos de pontos. Para isso escolhemos 4 pontos dentre n e em seguida particionamos esses 4 em dois pares. Em um conjunto de 4 pontos há exatamente 3 formas de emparelhar em dois subconjuntos de tamanho 2. Portanto o total de interseções novas é
3 \binom{n}{4}.

Passo 5

Somando as interseções nos pontos originais aos pontos novos, o número máximo de pontos de interseção distintos é
n \;+\;3\,\binom{n}{4}.

Resposta

Número de retas: \displaystyle \binom{n}{2}.
Número máximo de pontos de interseção: \displaystyle n + 3\,\binom{n}{4}.

Exercícios relacionados