Considere os números complexos:
\begin{aligned} & z_{1}=2 e^{j \pi / 4} \\\ & z_{2}=8 e^{j \pi / 3} \end{aligned}
Determine:
1 / z_{1}

Passo 1

O enunciado nos dá os números complexos (em forma exponencial):
z_{1}=2e^{j\pi/4},\qquad z_{2}=8e^{j\pi/3}
A pergunta que devemos responder é: determinar \dfrac{1}{z_{1}}. Ou seja, calcular o inverso multiplicativo de z_{1}.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que usaremos): se um número complexo está em forma exponencial como \;z=r e^{j\theta}\; com r>0 e \theta real, então o seu recíproco é dado por
\frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-j\theta}.
Explicação rápida do porquê: multiplicando os dois lados
z\cdot\frac{1}{z}=r e^{j\theta}\cdot\frac{1}{r}e^{-j\theta}=e^{j\theta}e^{-j\theta}=e^{0}=1,
logo a expressão é correta. Aqui r é o módulo (magnitude) do número complexo e \theta é o argumento (ângulo), e j é a unidade imaginária.

Passo 3

Aplicando essa regra diretamente a z_{1}=2e^{j\pi/4}: o módulo é r=2 e o argumento é \theta=\pi/4. Portanto
\frac{1}{z_{1}}=\frac{1}{2}e^{-j\pi/4}.
Isso já é uma forma correta e muito conveniente (forma polar/exponencial) para o resultado.

Passo 4

Se quiser a forma retangular (a + jb) — que às vezes pedem na prova — convertemos e^{-j\pi/4} usando as fórmulas de Euler:
e^{-j\pi/4}=\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)+j\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right).
Como \cos é par e \sin é ímpar, isso vira
e^{-j\pi/4}=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-j\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
e^{-j\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-j\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que apareceu no passo 3:
\frac{1}{z_{1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-j\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{\sqrt{2}}{4}-j\frac{\sqrt{2}}{4}.
Observação de equivalência: \dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}, então também se pode escrever \dfrac{1}{z_{1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-j\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 6

Verificação rápida (checar na prova é sempre bom): multiplicando \;z_{1}\cdot\dfrac{1}{z_{1}}=\;2e^{j\pi/4}\cdot\dfrac{1}{2}e^{-j\pi/4}=e^{0}=1. Está correto.

Resposta

\frac{1}{z_{1}}=\frac{1}{2}e^{-j\pi/4}
\frac{1}{z_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{4}-j\frac{\sqrt{2}}{4}