Considere uma onda plana uniforme no espaço livre, em que seu campo elétrico é dado por:
\vec{E}=40 \cos (\omega t-\beta z) \hat{\mathrm{a}}_{x}+30 \operatorname{sen}(\omega t-\beta z) \hat{\mathrm{a}}_{y} V / m
Pede-se:
a) Qual o tipo de polarização desta onda? Justifique
b) Encontre \vec{B}
c) Se esta onde incide sobre um plano condutor perfeito perpendicularmente ao eixo z, em z=0, encontre as ondas refletivas \overrightarrow{E_{r}} e \overrightarrow{H_{r}}.
d) Quais são os campos totais na região z \leq 0 ?
e) Calcule a média temporal do vetor de Poynting para z \leq 0 e z \geq 0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Campo elétrico incidente (no espaço livre, propagando-se no sentido +z):
\vec{E}_i = 40\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_x + 30\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_y\\ \text{V/m}.
  • O meio é espaço livre (constantes \varepsilon_0,\mu_0).
  • A onda incide perpendicularmente sobre um plano condutor perfeito localizado em z=0.
O enunciado pede:
a) Tipo de polarização e justificativa.
b) Encontrar \vec{B} do campo incidente.
c) Encontrar as ondas refletidas \vec{E}_r e \vec{H}_r.
d) Campos totais na região z\le 0.
e) Média temporal do vetor de Poynting para z\le 0 e para z\ge 0.

Passo 2

Entender a polarização a partir das componentes e fases do campo elétrico (aulas rápidas de polarização).
  • Para analisar polarização, convém escrever cada componente com sua fase relativa.
    • A componente x é 40\cos(\omega t-\beta z). Isso equivale à parte real de 40e^{j(\omega t-\beta z)}.
    • A componente y é 30\sin(\omega t-\beta z). Note que \sin(\theta)=\cos(\theta-\tfrac{\pi}{2}), logo 30\sin(\omega t-\beta z)=30\cos\!\big(\omega t-\beta z-\tfrac{\pi}{2}\big),isto é, a componente y tem amplitude 30 e defasagem -\tfrac{\pi}{2} em relação à componente x.
  • A diferença de fase entre E_x e E_y é
    \Delta\varphi = -\tfrac{\pi}{2}\\ (\text{ou } -90^\circ).
    Além disso, as amplitudes são diferentes ( 40 e 30). Esses dois fatos (diferença de fase 90^\circ e amplitudes diferentes) caracterizam uma polarização elíptica — só seria circular se as amplitudes fossem iguais e a diferença de fase fosse \pm\tfrac{\pi}{2}.
  • Sentido de rotação (importante para dizer se é levógira ou destrógira).
    • Observe a evolução temporal em um ponto fixo z: em t=0 temos E_x(0)=40, E_y(0)=0. Para pequeno t>0: E_x decresce ligeiramente (cos diminui) e E_y torna-se positivo (sin positivo). Assim o vetor elétrico gira de +\hat{a}_x em direção a +\hat{a}_y conforme o tempo avança — isto é rotação anti-horária quando se olha na direção de propagação +z.
    • Definição adotada aqui: rotação anti-horária olhando na direção de propagação corresponde a polarização levógira (esquerda).
Conclusão didática: a onda é polarizada de forma elíptica (porque amplitudes diferentes e defasagem -\tfrac{\pi}{2}); o sentido de rotação é levógiro (rotação anti-horária ao olhar na direção +z).

Passo 3

Encontrar \vec{B} do campo incidente (relembrando as relações entre campos em uma onda plana no espaço livre).
  • Relações úteis para onda plana transversal em espaço livre, propagando-se em \hat{k}=+\hat{a}_z:
    \vec{H}=\frac{1}{\eta_0}\,\hat{k}\times\vec{E}, \qquad \vec{B}=\mu_0\vec{H},
    onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} é a impedância intrínseca do vácuo ( \eta_0=120\pi\approx 377\\ \Omega). Usando \mu_0/\eta_0=1/c (porque c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}), obtém-se a forma direta
    \vec{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\vec{E}.
    Isto é prático: \vec{B} é \hat{k}\times\vec{E} dividido por c.
  • Aplicando ao nosso \vec{E}_i com \hat{k}=\hat{a}_z:
    \hat{a}_z\times\hat{a}_x=\hat{a}_y,\qquad \hat{a}_z\times\hat{a}_y=-\hat{a}_x.
    Então
    \vec{B}_i=\frac{1}{c}\Big[40\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_y \;+\;30\sin(\omega t-\beta z)\,(-\hat{a}_x)\Big].
    Reorganizando:
    \boxed{\displaystyle \vec{B}_i=\frac{1}{c}\Big[-30\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_x + 40\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{T}.}
  • Se preferir escrever o campo magnético \vec{H}_i (mais comum em engenharia):
    \boxed{\displaystyle \vec{H}_i=\frac{1}{\eta_0}\Big[-30\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_x + 40\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{A/m}.}

Passo 4

Encontrar as ondas refletidas \vec{E}_r e \vec{H}_r para reflexão em um condutor perfeitamente condutor (PEC) em z=0.
  • Condutor perfeito: condição de contorno tangencial na superfície do condutor ( z=0) é
    \vec{E}_{\text{total,tang}}(z=0)=\vec{E}_i(z=0)+\vec{E}_r(z=0)=\vec{0}.
    Para reflexão normal (incidência perpendicular), a amplitude da refletida tem módulo igual e sinal invertido no instante z=0. A onda refletida propaga-se em -z, portanto depende de \omega t + \beta z.
  • Escolhendo a forma que satisfaz a condição em z=0:
    \vec{E}_r = -40\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_x \;-\;30\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_y\\ \text{V/m}.
    Checagem rápida: em z=0, \vec{E}_r(0)=-40\cos(\omega t)\hat{a}_x-30\sin(\omega t)\hat{a}_y, que anula \vec{E}_i(0).
  • Agora \vec{H}_r. Para a onda refletida a direção de propagação é \hat{k}_r=-\hat{a}_z, e valem as mesmas relações:
    \vec{H}_r=\frac{1}{\eta_0}\,\hat{k}_r\times\vec{E}_r.
    Calculando os produtos vetoriais com \hat{k}_r=-\hat{a}_z obtém-se
    \boxed{\displaystyle \vec{H}_r=\frac{1}{\eta_0}\Big[-30\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_x + 40\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{A/m}.}
    (Note que a forma é semelhante à de \vec{H}_i mas com argumento \omega t+\beta z.)

Passo 5

Campos totais na região z\le 0 (superposição) e na região z\ge 0.
  • Região z\le 0 (ar livre à esquerda do plano condutor): o campo total é a soma do incidente com o refletido.
    Examinemos componente a componente e use propriedades trigonométricas para obter forma de ondas estacionárias.
    Para a componente x:
    E_{x,\text{tot}}=40\cos(\omega t-\beta z)-40\cos(\omega t+\beta z).
    Usando \cos u-\cos v = -2\sin\!\Big(\frac{u+v}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{u-v}{2}\Big) (ou a forma equivalente), com u=\omega t-\beta z,\\ v=\omega t+\beta z, tem-se \frac{u+v}{2}=\omega t,\\ \frac{u-v}{2}=-\beta z. Assim:
    E_{x,\text{tot}}=40\big(\cos u-\cos v\big)=40\cdot 2\sin(\omega t)\sin(\beta z)=80\sin(\omega t)\sin(\beta z).
    Para a componente y:
    E_{y,\text{tot}}=30\sin(\omega t-\beta z)-30\sin(\omega t+\beta z).
    Usando \sin u-\sin v = 2\cos\!\Big(\frac{u+v}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{u-v}{2}\Big) com os mesmos u,v:
    E_{y,\text{tot}}=30\cdot(-2)\cos(\omega t)\sin(\beta z)=-60\cos(\omega t)\sin(\beta z).
    Logo o campo elétrico total em z\le 0 é
    \boxed{\displaystyle \vec{E}_{\text{tot}}(z\le 0)=\sin(\beta z)\Big[80\sin(\omega t)\,\hat{a}_x -60\cos(\omega t)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{V/m}.}
    Observação: em z=0 aparece o fator \sin(\beta z)=0, então \vec{E}_{\text{tot}}(0)=\vec{0}, como exigido pelo condutor perfeito.
  • Campo magnético total em z\le 0: somando \vec{H}_i+\vec{H}_r.
    As componentes (já combinadas) são:
    H_{x,\text{tot}}=\frac{-30}{\eta_0}\big[\sin(\omega t-\beta z)+\sin(\omega t+\beta z)\big],
H_{y,\text{tot}}=\frac{40}{\eta_0}\big[\cos(\omega t-\beta z)+\cos(\omega t+\beta z)\big].
Usando identidades trigonométricas:
\sin u+\sin v = 2\sin\!\Big(\frac{u+v}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{u-v}{2}\Big)=2\sin(\omega t)\cos(\beta z),
\cos u+\cos v = 2\cos\!\Big(\frac{u+v}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{u-v}{2}\Big)=2\cos(\omega t)\cos(\beta z).
Portanto
\boxed{\displaystyle \vec{H}_{\text{tot}}(z\le 0)=\frac{\cos(\beta z)}{\eta_0}\Big[-60\sin(\omega t)\,\hat{a}_x +80\cos(\omega t)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{A/m}.}
  • Região z\ge 0 (dentro do condutor perfeito): para um PEC ideal, os campos eletromagnéticos no interior são nulos: \boxed{\displaystyle \vec{E}= \vec{0},\qquad \vec{H}=\vec{0}\quad\text{para }z\ge 0.}

Passo 6

Média temporal do vetor de Poynting para z\le 0 e z\ge 0.
  • Definição e estratégia:
    • O vetor de Poynting instantâneo é \vec{S}(t)=\vec{E}(t)\times\vec{H}(t).
    • A média temporal para sinais harmônicos pode ser obtida pela média sobre um período T. Para ondas planas, é prático calcular a média separadamente para a onda incidente e refletida e somá-las, pois o total é soma das componentes.
    • Para a onda incidente, usando a relação \vec{H}_i=\dfrac{1}{\eta_0}\,\hat{a}_z\times\vec{E}_i e a identidade vetorial \vec{E}\times(\hat{a}_z\times\vec{E})=(\vec{E}\cdot\vec{E})\hat{a}_z (já que \vec{E}\perp\hat{a}_z), obtém-se instantaneamente
      \vec{S}_i(t)=\frac{1}{\eta_0}|\vec{E}_i(t)|^2\hat{a}_z.
      Assim a média temporal é
      \langle\vec{S}_i\rangle = \frac{1}{\eta_0}\langle |\vec{E}_i(t)|^2\rangle\hat{a}_z.
    • Para a onda incidente |\vec{E}_i|^2 = 40^2\cos^2(\omega t-\beta z)+30^2\sin^2(\omega t-\beta z). A média temporal de \cos^2 e \sin^2 é 1/2. Logo
      \langle |\vec{E}_i|^2\rangle = \tfrac{1}{2}(40^2+30^2)=\tfrac{1}{2}\cdot 2500 =1250.
      Portanto
      \boxed{\displaystyle \langle\vec{S}_i\rangle = \frac{1250}{\eta_0}\,\hat{a}_z\\ \text{W/m}^2.}
      Numericamente, usando \eta_0\approx 120\pi\approx 376{,}99\\ \Omega,
      \frac{1250}{\eta_0}\approx \frac{1250}{376{,}99}\approx 3{,}32\\ \text{W/m}^2.
    • Para a onda refletida, o mesmo cálculo dá
      \boxed{\displaystyle \langle\vec{S}_r\rangle = -\frac{1250}{\eta_0}\,\hat{a}_z\\ \text{W/m}^2,}
      pois a direção de propagação é -\hat{a}_z.
  • Soma das médias (campo total) em z\le 0:
    \langle\vec{S}_{\text{tot}}\rangle = \langle\vec{S}_i\rangle + \langle\vec{S}_r\rangle = \vec{0}.
    Interpretação física: existe uma onda incidente transportando energia para a superfície e uma onda refletida transportando a mesma energia de volta; a média temporal do fluxo de energia na região do espaço livre fica zero (onda estacionária não transporta potência média para o condutor).
  • Região z\ge 0: campos nulos dentro do PEC, logo
    \boxed{\displaystyle \langle\vec{S}\rangle = \vec{0}\\ \text{para } z\ge 0.}

Resposta

a) Polarização elíptica, levógira (diferença de fase \Delta\varphi=-\tfrac{\pi}{2} e amplitudes diferentes 40 e 30).
b) \displaystyle \vec{B}_i=\frac{1}{c}\Big[-30\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_x + 40\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{T}.
c) \displaystyle \vec{E}_r=-40\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_x-30\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_y\\ \text{V/m},
\displaystyle \vec{H}_r=\frac{1}{\eta_0}\Big[-30\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_x + 40\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{A/m}.
d) Para z\le 0:
\displaystyle \vec{E}_{\text{tot}}=\sin(\beta z)\Big[80\sin(\omega t)\,\hat{a}_x -60\cos(\omega t)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{V/m},
\displaystyle \vec{H}_{\text{tot}}=\frac{\cos(\beta z)}{\eta_0}\Big[-60\sin(\omega t)\,\hat{a}_x +80\cos(\omega t)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{A/m}.
Para z\ge 0: \vec{E}=\vec{0},\\ \vec{H}=\vec{0}.
e) Média temporal do vetor de Poynting: para a onda incidente \langle\vec{S}_i\rangle=\dfrac{1250}{\eta_0}\,\hat{a}_z\approx 3{,}32\,\hat{a}_z\\ \text{W/m}^2, para a refletida \langle\vec{S}_r\rangle=-\dfrac{1250}{\eta_0}\,\hat{a}_z. Assim a média total em z\le 0 é \vec{0}. Em z\ge 0 (dentro do condutor perfeito) também \langle\vec{S}\rangle=\vec{0}.

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