Considere uma onda plana uniforme no espaço livre, em que seu campo elétrico é dado por:
\vec{E}=40 \cos (\omega t-\beta z) \hat{\mathrm{a}}_{x}+30 \operatorname{sen}(\omega t-\beta z) \hat{\mathrm{a}}_{y} V / m
Pede-se:
a) Qual o tipo de polarização desta onda? Justifique
b) Encontre \vec{B}
c) Se esta onde incide sobre um plano condutor perfeito perpendicularmente ao eixo z, em z=0, encontre as ondas refletivas \overrightarrow{E_{r}} e \overrightarrow{H_{r}}.
d) Quais são os campos totais na região z \leq 0 ?
e) Calcule a média temporal do vetor de Poynting para z \leq 0 e z \geq 0.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Campo elétrico incidente (no espaço livre, propagando-se no sentido +z):
O meio é espaço livre (constantes \varepsilon_0,\mu_0).
A onda incide perpendicularmente sobre um plano condutor perfeito localizado em z=0.
O enunciado pede:
a) Tipo de polarização e justificativa.
b) Encontrar \vec{B} do campo incidente.
c) Encontrar as ondas refletidas \vec{E}_r e \vec{H}_r.
d) Campos totais na região z\le 0.
e) Média temporal do vetor de Poynting para z\le 0 e para z\ge 0.
Passo 2
Entender a polarização a partir das componentes e fases do campo elétrico (aulas rápidas de polarização).
Para analisar polarização, convém escrever cada componente com sua fase relativa.
A componente x é 40\cos(\omega t-\beta z). Isso equivale à parte real de 40e^{j(\omega t-\beta z)}.
A componente y é 30\sin(\omega t-\beta z). Note que \sin(\theta)=\cos(\theta-\tfrac{\pi}{2}), logo30\sin(\omega t-\beta z)=30\cos\!\big(\omega t-\beta z-\tfrac{\pi}{2}\big),isto é, a componente y tem amplitude 30 e defasagem -\tfrac{\pi}{2} em relação à componente x.
Além disso, as amplitudes são diferentes (40 e 30). Esses dois fatos (diferença de fase 90^\circ e amplitudes diferentes) caracterizam uma polarização elíptica — só seria circular se as amplitudes fossem iguais e a diferença de fase fosse \pm\tfrac{\pi}{2}.
Sentido de rotação (importante para dizer se é levógira ou destrógira).
Observe a evolução temporal em um ponto fixo z: em t=0 temos E_x(0)=40, E_y(0)=0. Para pequeno t>0: E_x decresce ligeiramente (cos diminui) e E_y torna-se positivo (sin positivo). Assim o vetor elétrico gira de +\hat{a}_x em direção a +\hat{a}_y conforme o tempo avança — isto é rotação anti-horária quando se olha na direção de propagação +z.
Definição adotada aqui: rotação anti-horária olhando na direção de propagação corresponde a polarização levógira (esquerda).
Conclusão didática: a onda é polarizada de forma elíptica (porque amplitudes diferentes e defasagem -\tfrac{\pi}{2}); o sentido de rotação é levógiro (rotação anti-horária ao olhar na direção +z).
Passo 3
Encontrar \vec{B} do campo incidente (relembrando as relações entre campos em uma onda plana no espaço livre).
Relações úteis para onda plana transversal em espaço livre, propagando-se em \hat{k}=+\hat{a}_z:
onde \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} é a impedância intrínseca do vácuo (\eta_0=120\pi\approx 377\\ \Omega). Usando \mu_0/\eta_0=1/c (porque c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}), obtém-se a forma direta
\vec{B}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\vec{E}.
Isto é prático: \vec{B} é \hat{k}\times\vec{E} dividido por c.
Aplicando ao nosso \vec{E}_i com \hat{k}=\hat{a}_z:
Para reflexão normal (incidência perpendicular), a amplitude da refletida tem módulo igual e sinal invertido no instante z=0. A onda refletida propaga-se em -z, portanto depende de \omega t + \beta z.
Escolhendo a forma que satisfaz a condição em z=0:
Usando \cos u-\cos v = -2\sin\!\Big(\frac{u+v}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{u-v}{2}\Big) (ou a forma equivalente), com u=\omega t-\beta z,\\ v=\omega t+\beta z, tem-se \frac{u+v}{2}=\omega t,\\ \frac{u-v}{2}=-\beta z. Assim:
Região z\ge 0 (dentro do condutor perfeito): para um PEC ideal, os campos eletromagnéticos no interior são nulos:\boxed{\displaystyle \vec{E}= \vec{0},\qquad \vec{H}=\vec{0}\quad\text{para }z\ge 0.}
Passo 6
Média temporal do vetor de Poynting para z\le 0 e z\ge 0.
Definição e estratégia:
O vetor de Poynting instantâneo é \vec{S}(t)=\vec{E}(t)\times\vec{H}(t).
A média temporal para sinais harmônicos pode ser obtida pela média sobre um período T. Para ondas planas, é prático calcular a média separadamente para a onda incidente e refletida e somá-las, pois o total é soma das componentes.
Para a onda incidente, usando a relação \vec{H}_i=\dfrac{1}{\eta_0}\,\hat{a}_z\times\vec{E}_i e a identidade vetorial \vec{E}\times(\hat{a}_z\times\vec{E})=(\vec{E}\cdot\vec{E})\hat{a}_z (já que \vec{E}\perp\hat{a}_z), obtém-se instantaneamente
Interpretação física: existe uma onda incidente transportando energia para a superfície e uma onda refletida transportando a mesma energia de volta; a média temporal do fluxo de energia na região do espaço livre fica zero (onda estacionária não transporta potência média para o condutor).
a) Polarização elíptica, levógira (diferença de fase \Delta\varphi=-\tfrac{\pi}{2} e amplitudes diferentes 40 e 30).
b) \displaystyle \vec{B}_i=\frac{1}{c}\Big[-30\sin(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_x + 40\cos(\omega t-\beta z)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{T}.
c) \displaystyle \vec{E}_r=-40\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_x-30\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_y\\ \text{V/m}, \displaystyle \vec{H}_r=\frac{1}{\eta_0}\Big[-30\sin(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_x + 40\cos(\omega t+\beta z)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{A/m}.
d) Para z\le 0: \displaystyle \vec{E}_{\text{tot}}=\sin(\beta z)\Big[80\sin(\omega t)\,\hat{a}_x -60\cos(\omega t)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{V/m}, \displaystyle \vec{H}_{\text{tot}}=\frac{\cos(\beta z)}{\eta_0}\Big[-60\sin(\omega t)\,\hat{a}_x +80\cos(\omega t)\,\hat{a}_y\Big]\\ \text{A/m}.
Para z\ge 0: \vec{E}=\vec{0},\\ \vec{H}=\vec{0}.
e) Média temporal do vetor de Poynting: para a onda incidente \langle\vec{S}_i\rangle=\dfrac{1250}{\eta_0}\,\hat{a}_z\approx 3{,}32\,\hat{a}_z\\ \text{W/m}^2, para a refletida \langle\vec{S}_r\rangle=-\dfrac{1250}{\eta_0}\,\hat{a}_z. Assim a média total em z\le 0 é \vec{0}. Em z\ge 0 (dentro do condutor perfeito) também \langle\vec{S}\rangle=\vec{0}.