Considere o operador linear
dado por
. Determine:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
definido por
. A questão pede para determinarmos a dimensão do núcleo (
) e a dimensão da imagem (
) desse operador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e teoria das dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo de
, escrito como
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar
. Para isso, igualamos
a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação,
implica que . - Substituindo
na primeira equação: , então .
Portanto, o ��nico vetor no núcleo é
.
Passo 5
Assim, podemos concluir que:
A dimensão do núcleo,
, é o número de vetores em uma base para o núcleo. Como só temos o vetor zero, a dimensão é 0.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem de
. A imagem de
, escrita como
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
em algum vetor de
. Ou seja:
Passo 7
Observando a transformação
, podemos notar que:
- O segundo componente,
, pode assumir qualquer valor real, já que varia em . - Dado qualquer
, podemos escolher para obter . - Para o primeiro componente,
, onde pode ser qualquer número real.
Isso mostra que para qualquer
, existe um
tal que
.
Passo 8
Portanto, a imagem de
é todo o espaço
:
A dimensão da imagem,
, é 2, pois
é um espaço bidimensional.