Considere o operador linear T do R^3 tal que T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z), considerando alpha como a base canônica de R^3. Responda:
(0,5) (a) Mostre que T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear definido por . O nosso objetivo aqui é mostrar que esse operador é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes de operadores lineares, autovalores e autovetores. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador T(e1) = T(1, 0, 0) = (3cdot1 - 4cdot0, 3cdot0 + 5cdot0, -0) = (3, 0, 0) em forma de matriz na base canônica T(e2) = T(0, 1, 0) = (3cdot0 - 4cdot0, 3cdot1 + 5cdot0, -0) = (0, 3, 0) de T(e3) = T(0, 0, 1) = (3cdot0 - 4cdot1, 3cdot0 + 5cdot1, -1) = (-4, 5, -1) . A base canônica é simplesmente os vetores A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 , e .
Para encontrar a matriz de , aplicamos a cada vetor da base:
Então, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores da matriz A - lambda I = 3 - lambda & 0 & -4 0 & 3 - lambda & 5 0 & 0 & -1 - lambda . Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(3 - lambda)(-1 - lambda)] = 0 que satisfazem a equação característica:
(3 - lambda)^2 (-1 - lambda) = 0
Onde lambda1 = 3 (com mu é a matriz identidade de ordem 3. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Resolvendo a equação:
Isso nos dá os autovalores:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 x y z = 0 0 0 .
Para -4z = 0 Rightarrow z = 0 :
Resolvemos v = x y 0 :

[
v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0
4 & 0 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 x y z = 0 0 0

4x - 4z = 0 Rightarrow x = z
]
Isso nos leva a:
4y + 5z = 0 Rightarrow y = -54z
As outras equações já são redundantes. Então, v3 = 1 -54 1 e são livres. Portanto, os autovetores podem ser escritos como:
O que significa que temos dois autovetores linearmente independentes para , por exemplo:
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá:
Tomando , obtemos o autovetor:

Passo 5

Agora, temos três autovetores linearmente independentes:
v1 = 1 0 0, v2 = 0 1 0, v3 = 1 -54 1
Como encontramos três autovetores distintos e eles são linearmente independentes, isso significa que a matriz (e, consequentemente, o operador ) é diagonalizável.

Resposta

O operador linear é diagonalizável, pois possui três autovetores linearmente independentes correspondentes aos seus autovalores.

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