Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A sen(2 pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
a) Normalize a função de onda;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa $ m $ que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode estar. A função de onda dessa partícula é dada por:
m á
O que precisamos fazer é normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de $ A $ de forma que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1, ou seja, a integral do módulo quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. Na mecânica quântica, a função de onda $ \Psi(x, t) $ descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição $ x $ no tempo $ t $. Para que isso faça sentido probabilístico, a integral do módulo quadrado de $ \Psi(x, t) $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Psi(x, t)
Como nossa função de onda é zero fora de $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, podemos simplificar a integral para esse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular o módulo quadrado da função de onda dentro do intervalo permitido:
|Psi(x, t)|^2 = |A sin(2 pi xa) e^-i E t / hbar|^2
Sabemos que $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $ porque o módulo de uma exponencial imaginária pura é 1. Então:
|e^-i E t / hbar|^2 = 1
Como $ A $ é uma constante e pode ser assumido como real (se não, podemos ajustar a fase), temos:
|Psi(x, t)|^2 = |A|^2 sin^2(2 pi xa)

Passo 4

Agora, vamos configurar a equação de normalização:
integral-a2^a2 A^2 sin^2(2 pi xa) dx = 1
Precisamos resolver essa integral para encontrar $ A $.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
A^2 integral-a2^a2 sin^2(2 pi xa) dx = 1
Usamos uma identidade trigonométrica para simplificar $ \sin^2(\theta) $:
sin^2(theta)
Aplicando isso:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2

Passo 6

Vamos separar a integral:
A^2 [ 12 integral-a2^a2 dx - 12 integral-a2^a2 cos(4 pi xa) dx ] = 1
Calculando cada parte:
  1. integral-a2^a2 dx = a
  2. integral-a2^a2 cos(4 pi xa) dx = 0 (porque a função cosseno é par e o intervalo é simétrico, e a integral de uma função cosseno com múltiplos inteiros de períodos completos resulta em zero)
Portanto:
A^2 ( 12 cdot a - 12 cdot 0 ) = 1 implies A^2 cdot a2 = 1

Passo 7

Agora, resolvemos para $ A $:
A

Resposta

A função de onda está normalizada quando $ A = \sqrt{\dfrac{2}{a}} $.

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