Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
a) Normalize a função de onda;
a) Normalize a função de onda;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa $ m $ que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode estar. A função de onda dessa partícula é dada por:
O que precisamos fazer é normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de $ A $ de forma que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1, ou seja, a integral do módulo quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. Na mecânica quântica, a função de onda $ \Psi(x, t) $ descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição $ x $ no tempo $ t $. Para que isso faça sentido probabilístico, a integral do módulo quadrado de $ \Psi(x, t) $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como nossa função de onda é zero fora de $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, podemos simplificar a integral para esse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular o módulo quadrado da função de onda dentro do intervalo permitido:
Sabemos que $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $ porque o módulo de uma exponencial imaginária pura é 1. Então:
Como $ A $ é uma constante e pode ser assumido como real (se não, podemos ajustar a fase), temos:
Passo 4
Agora, vamos configurar a equação de normalização:
Precisamos resolver essa integral para encontrar $ A $.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Usamos uma identidade trigonométrica para simplificar $ \sin^2(\theta) $:
Aplicando isso:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
-
integral-a2^a2 dx = a -
(porque a função cosseno é par e o intervalo é simétrico, e a integral de uma função cosseno com múltiplos inteiros de períodos completos resulta em zero)integral-a2^a2 cos(4 pi xa) dx = 0
Portanto:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ A $:
Resposta
A função de onda está normalizada quando $ A = \sqrt{\dfrac{2}{a}} $.