Considere uma partícula de massa m presa a um fio ideal de comprimento L, formando um pêndulo. A partícula é solta a partir do repouso a uma distância de L / 3, do ponto de sustentação. Considere g como o módulo da aceleração da gravidade. 0 módulo do momento angular da partícula em relação ao ponto de sustentação do fio quando ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória é igual a
(A) \frac{m}{L} \sqrt{\frac{2 g L}{3}}
(B) \frac{2 \sqrt{3} m L}{\sqrt{2 g L}}
(C) \frac{2 \sqrt{3} m L}{2 \sqrt{g L}}
(D) m L \sqrt{\frac{2 g L}{3}}

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples: uma partícula de massa m presa a um fio ideal comprimento L, solta do repouso a certa altura acima do ponto mais baixo. Precisamos achar o módulo do momento angular dessa partícula em relação ao ponto de sustentação (o pivô) no instante em que ela passa pelo ponto mais baixo da trajetória. Vamos usar (i) a definição de momento angular e (ii) conservação de energia mecânica para determinar sua velocidade nesse ponto.

Passo 2

Em geral o momento angular de uma partícula de massa m em relação a um ponto fixo é
\mathbf{L} \;=\;\mathbf{r}\times\mathbf{p},
e seu módulo vale
L \;=\; m\,v\,r\,\sin\theta.
No ponto mais baixo do pêndulo o vetor posição \mathbf{r} (de módulo L) é perpendicular à velocidade \mathbf{v}, logo \sin\theta=1 e
L \;=\; m\,L\,v.

Passo 3

Para encontrar v usemos conservação de energia: a energia potencial gravitacional perdida ao descer certa altura h vira energia cinética. Como a partícula foi solta do repouso,
mgh \;=\;\tfrac12\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v \;=\;\sqrt{2\,g\,h}.
Pelo enunciado, a distância vertical entre a posição inicial e a mais baixa vale h=L/3. Logo
v \;=\;\sqrt{2\,g\,\bigl(L/3\bigr)} =\sqrt{\tfrac{2gL}{3}}.

Passo 4

Substituindo em L=mLv, obtemos
L \;=\; m\,L\;\sqrt{\tfrac{2gL}{3}}.

Resposta

(D) m\,L\sqrt{\tfrac{2gL}{3}}

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