Considere uma peça cilíndrica. Explique a diferença de resfriamento experimentado pela superfície e pelo centro da peça durante um processo de têmpera.

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que, numa têmpera de uma peça cilíndrica, a superfície resfria muito mais rápido que o centro. O conteúdo envolvido é condução de calor transiente em coordenadas cilíndricas e a convecção na interface sólido–fluido. Para isso vamos usar a Lei de Newton do resfriamento para a superfície e a equação do calor para o interior, além de conceitos como coeficiente de transferência de calor h, condutividade térmica k e difusividade térmica \alpha.

Passo 2

Na superfície da peça, o calor é removido diretamente pelo fluido de têmpera (água, óleo, salmoura etc.). A taxa de perda de calor por unidade de área obedece à Lei de Newton do resfriamento:
q'' = h \bigl(T_s - T_\infty\bigr)
onde T_s é a temperatura da superfície imediatamente antes da convecção e T_\infty a temperatura do banho. Como em têmpera h é muito alto (devido à ebulição e à convecção forçada), o decaimento de T_s no tempo é muito rápido nas primeiras frações de segundo.

Passo 3

No centro da peça não há contato direto com o meio externo. A única forma de remover calor é por condução radial, que obedece à equação do calor em coordenadas cilíndricas sem geração interna:
\frac{\partial T}{\partial t} \;=\; \alpha \Bigl(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,\frac{\partial T}{\partial r}\bigr)\Bigr)
Esse processo é limitado pela difusividade \alpha=k/(\rho c) e pelo fato de o calor ter que “caminhar” do centro até a superfície antes de ser retirado. Por isso o centro demora muito mais para perder temperatura.

Passo 4

A importância dos gradientes internos pode ser avaliada pelo número de Biot
\mathrm{Bi} = \frac{hR}{k}\,,
onde R é o raio do cilindro. Quando \mathrm{Bi}\gtrsim0{,}1, há gradientes significativos entre superfície e núcleo. Além disso, o avanço do resfriamento no núcleo é medido pelo número de Fourier
\mathrm{Fo} = \frac{\alpha\,t}{R^2}\,,
que mostra que, em tempos curtos \mathrm{Fo}\ll1, o centro quase não “sabe” que a superfície esfriou. Somente em tempos maiores \mathrm{Fo}\sim1 o calor interno consegue atravessar todo o raio.

Passo 5

Em resumo, a superfície experimenta um decaimento rápido de temperatura controlado pela convecção intensa (e fenômenos de ebulição), enquanto o centro esfria lentamente devido à limitação imposta pela condução radial. Isso gera fortes gradientes térmicos e, consequentemente, tensões internas que caracterizam o fenômeno de têmpera.

Resposta

A superfície resfria rapidamente pela alta transferência de calor convectiva (e ebulição) com coeficiente h elevado, enquanto o centro depende da condução radial limitada pela difusividade \alpha, resultando em resfriamento muito mais lento do núcleo da peça.

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