Considere o peso de um puma macho adulto como uma variável aleatória com distribuição normal de média mu e variância sigma^2. Sabe-se que 33,0 % destes animais tem peso inferior a 82,8 kg e também que 0,4 % tem peso superior a 98.25 kg . Calcule mu e sigma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Estamos lidando com uma distribuição normal, que é usada para modelar dados que seguem um padrão de distribuição em forma de sino. Aqui, queremos descobrir a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) do peso de pumas machos adultos. Para isso, vamos precisar usar as informações das porcentagens fornecidas e aplicar conceitos da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que as porcentagens nos dizem. Sabemos que 33,0% dos pumas pesam menos que 82,8 kg e que 0,4% pesam mais que 98,25 kg. Na distribuição normal, essas porcentagens correspondem a valores específicos na tabela da distribuição normal padrão (z).

Passo 3

Vamos encontrar os valores z que correspondem a essas porcentagens. Para 33,0%, buscamos o valor de z tal que P(Z < z) = 0,33. Usando a tabela z ou uma calculadora, encontramos que z1 approx -0,44. Isso significa que 82,8 kg está 0,44 desvios padrões abaixo da média.
Para 0,4%, buscamos P(Z > z) = 0,004, o que corresponde a P(Z < z) = 0,996. Encontrando na tabela, temos z2 approx 2,75. Então, 98,25 kg está 2,75 desvios padrões acima da m��dia.

Passo 4

Agora, vamos relacionar esses valores z com a média e o desvio padrão usando a fórmula de padronização:
z = X - musigma
Para o peso de 82,8 kg:
-0,44 = 82,8 - musigma
Para o peso de 98,25 kg:
2,75 = 98,25 - musigma

Passo 5

Temos duas equações agora:
  1. -0,44sigma = 82,8 - mu
  2. 2,75sigma = 98,25 - mu
Podemos rearranjar a primeira equação para:
mu = 82,8 + 0,44sigma

Passo 6

Substituímos a expressão da média na segunda equação:
2,75sigma = 98,25 - (82,8 + 0,44sigma)
Simplificando:
2,75sigma = 98,25 - 82,8 - 0,44sigma
2,75sigma = 15,45 - 0,44sigma

Passo 7

Agora, juntamos os termos com σ:
2,75sigma + 0,44sigma = 15,45
3,19sigma = 15,45
Resolvendo para σ:
sigma = 15,453,19 approx 4,84 kg

Passo 8

Com o valor de σ, voltamos à equação da média:
mu = 82,8 + 0,44 times 4,84 approx 82,8 + 2,13 = 84,93 kg

Resposta

A média do peso dos pumas machos adultos é aproximadamente 84,93 kg e o desvio padrão é cerca de 4,84 kg.

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