Considere uma placa de espessura e condutividade térmica constante k , na qual é gerado energia a uma taxa constante . A superfície em é isolada (adiabática) e a superfície em dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um fluido a uma temperatura .
Desenvolva expressões da temperatura e do fluxo de calor na placa.
Calcule as temperaturas nas superfícies nas seguintes condições: , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A gente tem uma placa com certa espessura , condutividade térmica , e está gerando calor internamente a uma taxa constante . A gente precisa encontrar a distribuição de temperatura ao longo da placa e o fluxo de calor . Além disso, vamos calcular as temperaturas nas superfícies e com os valores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor para estado estacionário com geração interna de calor. A equação diferencial é:
Isso porque a geração de calor internamente é representada por , e é a condutividade térmica.
Passo 3
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para . Integrando uma vez em relação a :
E integrando novamente para obter :
Aqui, e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Primeiro, na superfície , a placa é adiabática, ou seja, não há fluxo de calor passando por lá. Isso significa que a derivada da temperatura em é zero:
Então, a equação de agora fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a condição na superfície -k dTdx|x=L = h [T(L) - Tinfty] , onde há convecção com o fluido externo. A condição de contorno para convecção é dada por:
dTdx = -g0kx
Como -k (-g0kL) = h [T(L) - Tinfty] , temos:
g0 L = h [T(L) - Tinfty]
Substituindo na condição de contorno:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir T(L) = -g02kL^2 + C2 na equação acima para encontrar g0 L = h [-g02kL^2 + C2 - Tinfty] :
C2 = Tinfty + g0 Lh + g0 L^22k
Substituindo na condição de contorno:
Resolvendo para :
Passo 7
Agora que temos T(x) = -g02kx^2 + Tinfty + g0 Lh + g0 L^22k , podemos escrever a expressão completa para T(x) = Tinfty + g0 Lh - g02kx^2 :
Simplificando:
Passo 8
Para o fluxo de calor q(x) = -k dTdx , utilizamos a relação:
dTdx = -g0kx
Calculando a derivada de q(x) = -k (-g0kx) = g0 x :
Então:
Passo 9
Agora vamos calcular as temperaturas nas superfícies L = 0,01 , m, k = 20 , Wm cdot ^circC, g0 = 8 times 10^7 , Wm^3, h = 4000 , Wm^2 cdot ^circC, Tinfty = 100,^circC e C2 = 100 + 8 times 10^7 times 0,014000 + 8 times 10^7 times (0,01)^22 times 20 com os valores fornecidos:
8 times 10^7 times 0,014000 = 8 times 10^54000 = 200,^circC
Primeiro, calculamos 8 times 10^7 times 0,000140 = 8 times 10^340 = 200,^circC :
C2 = 100 + 200 + 200 = 500,^circC
Calculando cada termo:
T(0) = 100 + 200 - 0 = 300,^circC
T(L) = 100 + 200 - 8 times 10^72 times 20 times (0,01)^2