Considere uma placa de espessura L e condutividade térmica constante k , na qual é gerado energia a uma taxa constante g0 W / m^3. A superfície em x=0 é isolada (adiabática) e a superfície em x=L dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um fluido a uma temperatura Tinfty.
Desenvolva expressões da temperatura T(x) e do fluxo de calor q(x) na placa.
Calcule as temperaturas nas superfícies x=0 e x=L nas seguintes condições:
L=1 cm ; k=20 W /(m ^circ C) ; g0=8 times 10^7 W / m^3 ; h=4000 W /(m^2 ^circ C), e Tinfty=100^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A gente tem uma placa com certa espessura , condutividade térmica , e está gerando calor internamente a uma taxa constante . A gente precisa encontrar a distribuição de temperatura ao longo da placa e o fluxo de calor . Além disso, vamos calcular as temperaturas nas superfícies e com os valores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de condução de calor para estado estacionário com geração interna de calor. A equação diferencial é:
d^2 Tdx^2 = -g0k
Isso porque a geração de calor internamente é representada por , e é a condutividade térmica.

Passo 3

Agora, vamos integrar essa equação para encontrar a expressão para dTdx = -g0kx + C1 . Integrando uma vez em relação a T(x) = -g02kx^2 + C1 x + C2 :
E integrando novamente para obter :
Aqui, e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar dTdx|x=0 = 0 Rightarrow -g0k(0) + C1 = 0 Rightarrow C1 = 0 e T(x) = -g02kx^2 + C2 .
Primeiro, na superfície , a placa é adiabática, ou seja, não há fluxo de calor passando por lá. Isso significa que a derivada da temperatura em é zero:
Então, a equação de agora fica:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a condição na superfície -k dTdx|x=L = h [T(L) - Tinfty] , onde há convecção com o fluido externo. A condição de contorno para convecção é dada por:
dTdx = -g0kx
Como -k (-g0kL) = h [T(L) - Tinfty] , temos:
g0 L = h [T(L) - Tinfty]
Substituindo na condição de contorno:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir T(L) = -g02kL^2 + C2 na equação acima para encontrar g0 L = h [-g02kL^2 + C2 - Tinfty] :
C2 = Tinfty + g0 Lh + g0 L^22k
Substituindo na condição de contorno:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos T(x) = -g02kx^2 + Tinfty + g0 Lh + g0 L^22k , podemos escrever a expressão completa para T(x) = Tinfty + g0 Lh - g02kx^2 :
Simplificando:

Passo 8

Para o fluxo de calor q(x) = -k dTdx , utilizamos a relação:
dTdx = -g0kx
Calculando a derivada de q(x) = -k (-g0kx) = g0 x :
Então:

Passo 9

Agora vamos calcular as temperaturas nas superfícies L = 0,01 , m, k = 20 , Wm cdot ^circC, g0 = 8 times 10^7 , Wm^3, h = 4000 , Wm^2 cdot ^circC, Tinfty = 100,^circC e C2 = 100 + 8 times 10^7 times 0,014000 + 8 times 10^7 times (0,01)^22 times 20 com os valores fornecidos:
8 times 10^7 times 0,014000 = 8 times 10^54000 = 200,^circC
Primeiro, calculamos 8 times 10^7 times 0,000140 = 8 times 10^340 = 200,^circC :
C2 = 100 + 200 + 200 = 500,^circC
Calculando cada termo:
T(0) = 100 + 200 - 0 = 300,^circC
T(L) = 100 + 200 - 8 times 10^72 times 20 times (0,01)^2
Então:
8 times 10^740 times 0,0001 = 200,^circC
Agora, as temperaturas:
Para T(L) = 100 + 200 - 200 = 100,^circC :
Para :
Calculando o último termo:
Então:

Resposta

A temperatura na superfície é e na superfície é .

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