Considere o plano cartesiano com origem O.
Explique a diferença entre \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B A}.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar a diferença entre \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B A}.
Informações dadas:
Há um plano cartesiano com origem O.
Existem dois pontos A e B e uma seta (vetor) indo de A para B (essa é a representação de \overrightarrow{A B} na figura).
Passo 2
Conceito básico (o que é um vetor entre dois pontos).
Um vetor \overrightarrow{A B} é o vetor “que vai de” A até B: tem direção, sentido (apontando para B) e comprimento (distância entre A e B).
Se \overrightarrow{O A} representa o vetor posição do ponto A (da origem O até A) e \overrightarrow{O B} representa o vetor posição de B, então vale a relação fundamental
Conclusão algebraica direta e muito útil na prova:
\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B A}.
Passo 5
Interpretação geométrica (o que muda e o que não muda).
Mesma intensidade (mesmo comprimento): |\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{B A}|, porque trocar a ordem só inverte o sinal dos componentes e o módulo usa quadrados.
Mesma linha de ação (a reta que contém A e B).
Sentidos opostos: as setas apontam em direções contrárias (uma de A para B, a outra de B para A).
Se A\neq B, então \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B A} são vetores distintos (porque têm sentidos opostos). Se A=B, ambos são o vetor nulo e coincidem.
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (para fixar e praticar sem calculadora).
Tome A=(1,2) e B=(4,5) (exemplo simples que dá números inteiros).
Calcula-se
\overrightarrow{A B}=(4-1,\;5-2)=(3,\;3).
\overrightarrow{B A}=(1-4,\;2-5)=(-3,\;-3).
Observa-se que \overrightarrow{B A}=-(3,3)=(-3,-3)=-\overrightarrow{A B}.
Direção/oposição: \overrightarrow{A B} aponta 45° (no exemplo) e \overrightarrow{B A} aponta 225°, exatamente 180° oposto.
Passo 7
Receita rápida para a prova (passos que você pode aplicar em 10–20 segundos)
Se souber as coordenadas A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B): calcule direta e mentalmente \overrightarrow{A B}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
Para \overrightarrow{B A} basta inverter o sinal: \overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}.
Para verificar igualdade de vetores: comparar componentes (ou verificar se um é múltiplo escalar do outro com escalar -1).
Passo 8
Casos especiais e observações finais
Vetores deslocamento dependem apenas da diferença de posições; sua localização no plano não altera o vetor se mantivermos direção e sentido.
Em construções geométricas, lembrar que \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} é uma identidade útil; a relação \overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B A} aparece frequentemente para simplificar somas.
Resposta
\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B A}. Eles têm mesma intensidade e reta de atuação, mas sentidos opostos; em coordenadas \overrightarrow{A B}=(x_B-x_A,y_B-y_A) e \overrightarrow{B A}=(x_A-x_B,y_A-y_B)=-\overrightarrow{A B}.