Considere o plano cartesiano com origem O.
Explique a diferença entre \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B A}.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar a diferença entre \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B A}.
Informações dadas:
  • Há um plano cartesiano com origem O.
  • Existem dois pontos A e B e uma seta (vetor) indo de A para B (essa é a representação de \overrightarrow{A B} na figura).

Passo 2

Conceito básico (o que é um vetor entre dois pontos).
  • Um vetor \overrightarrow{A B} é o vetor “que vai de” A até B: tem direção, sentido (apontando para B) e comprimento (distância entre A e B).
  • Se \overrightarrow{O A} representa o vetor posição do ponto A (da origem O até A) e \overrightarrow{O B} representa o vetor posição de B, então vale a relação fundamental
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}.
Explanação simples: isso significa “para ir de A a B” pega-se a posição de B e subtrai-se a posição de A.

Passo 3

Representação por coordenadas (fórmula prática para a prova).
  • Seja A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) (coordenadas cartesianas).
  • Então, usando a relação anterior, os componentes do vetor são
\overrightarrow{A B}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
  • Analogamente,
\overrightarrow{B A}=(x_A-x_B,\;y_A-y_B).

Passo 4

Relação entre \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B A} (resultado chave).
  • Observando as componentes:
\overrightarrow{B A}=(x_A-x_B,\;y_A-y_B)=-(x_B-x_A,\;y_B-y_A)=-\overrightarrow{A B}.
  • Conclusão algebraica direta e muito útil na prova:
\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B A}.

Passo 5

Interpretação geométrica (o que muda e o que não muda).
  • Mesma intensidade (mesmo comprimento): |\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{B A}|, porque trocar a ordem só inverte o sinal dos componentes e o módulo usa quadrados.
  • Mesma linha de ação (a reta que contém A e B).
  • Sentidos opostos: as setas apontam em direções contrárias (uma de A para B, a outra de B para A).
  • Se A\neq B, então \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{B A} são vetores distintos (porque têm sentidos opostos). Se A=B, ambos são o vetor nulo e coincidem.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (para fixar e praticar sem calculadora).
  • Tome A=(1,2) e B=(4,5) (exemplo simples que dá números inteiros).
  • Calcula-se
\overrightarrow{A B}=(4-1,\;5-2)=(3,\;3).
\overrightarrow{B A}=(1-4,\;2-5)=(-3,\;-3).
  • Observa-se que \overrightarrow{B A}=-(3,3)=(-3,-3)=-\overrightarrow{A B}.
  • Módulo: |\overrightarrow{A B}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}=|\overrightarrow{B A}|.
  • Direção/oposição: \overrightarrow{A B} aponta 45° (no exemplo) e \overrightarrow{B A} aponta 225°, exatamente 180° oposto.

Passo 7

Receita rápida para a prova (passos que você pode aplicar em 10–20 segundos)
  • Se souber as coordenadas A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B): calcule direta e mentalmente \overrightarrow{A B}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A).
  • Para \overrightarrow{B A} basta inverter o sinal: \overrightarrow{B A}=-\overrightarrow{A B}.
  • Para verificar igualdade de vetores: comparar componentes (ou verificar se um é múltiplo escalar do outro com escalar -1).

Passo 8

Casos especiais e observações finais
  • Vetores deslocamento dependem apenas da diferença de posições; sua localização no plano não altera o vetor se mantivermos direção e sentido.
  • Em construções geométricas, lembrar que \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} é uma identidade útil; a relação \overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B A} aparece frequentemente para simplificar somas.

Resposta

\overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B A}. Eles têm mesma intensidade e reta de atuação, mas sentidos opostos; em coordenadas \overrightarrow{A B}=(x_B-x_A,y_B-y_A) e \overrightarrow{B A}=(x_A-x_B,y_A-y_B)=-\overrightarrow{A B}.