Considere a planta G(s)=\frac{1}{s^{2}+6 s+8} e o controlador G_{c}(s)=\frac{K_{c}}{s(s+4)}, onde K_{c} é constante. (Valor 2,5).
a) Existe alguma faixa de valores de K_{c} para o qual o sistema em malha fechada Y(s) / R(s) é estável?

Passo 1

O enunciado dá a planta e o controlador e pede para saber se existe faixa de valores de K_c para os quais o sistema em malha fechada Y(s)/R(s) é estável. Dados fornecidos:
G(s)=\frac{1}{s^{2}+6s+8}
G_c(s)=\frac{K_c}{s(s+4)}
A malha é de realimentação unitária (feed‑back unitário), conforme o diagrama. Pergunta explícita: existe faixa de K_c que torna o sistema fechado estável? Se sim, qual é essa faixa?

Passo 2

Escrevemos a função de malha aberta L(s)=G_c(s)G(s). Multiplicando:
L(s)=\frac{K_c}{s(s+4)}\cdot\frac{1}{s^{2}+6s+8}.
Observação: s^{2}+6s+8=(s+2)(s+4). Então
L(s)=\frac{K_c}{s\,(s+2)\,(s+4)^2}.
A característica do sistema em malha fechada (denominador de Y(s)/R(s)) é dada por 1+L(s)=0, o que corresponde ao polinômio característico:
p(s)=s\,(s+2)\,(s+4)^2 + K_c.

Passo 3

Vamos expandir p(s) explicitamente para construir o polinômio de coeficientes:
Primeiro (s+4)^2=s^2+8s+16.
Depois (s+2)(s^2+8s+16)=s^3+10s^2+32s+32.
Multiplicando por s e somando K_c:
p(s)=s^4+10s^3+32s^2+32s+K_c.
Portanto os coeficientes (do termo s^4 ao termo s^0) são 1,\;10,\;32,\;32,\;K_c.

Passo 4

Para decidir estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) vamos usar o critério de Routh‑Hurwitz — é prático para polinômios reais e permite obter condições em K_c sem calcular raízes explicitamente. Regra prática: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam estritamente positivos (para estabilidade estrita).
Construímos a primeira duas linhas (ordem decrescente):
linha s^4: 1\quad 32\quad K_c (coeficientes dos termos s^4,s^2,s^0)
linha s^3: 10\quad 32\quad 0 (coeficientes dos termos s^3,s^1,0)

Passo 5

Calculamos a linha s^2. A primeira entrada da linha s^2 é
\frac{10\cdot 32 - 1\cdot 32}{10}=\frac{320-32}{10}=\frac{288}{10}=\frac{144}{5}.
A segunda entrada da linha s^2 é
\frac{10\cdot K_c - 1\cdot 0}{10}=K_c.
Logo a linha s^2 é \dfrac{144}{5}\quad K_c.

Passo 6

Agora a linha s^1. A primeira entrada desta linha é calculada com os elementos das duas linhas acima:
\text{entrada }s^1=\frac{\left(\dfrac{144}{5}\right)\cdot 32 - 10\cdot K_c}{\dfrac{144}{5}}.
Vamos simplificar passo a passo. Primeiro o numerador:
\left(\frac{144}{5}\right)\cdot 32 = \frac{144\cdot 32}{5}=\frac{4608}{5}.
Então o numerador completo é \dfrac{4608}{5}-10K_c. Dividindo por \dfrac{144}{5} equivale a multiplicar por \dfrac{5}{144}:
\text{entrada }s^1=\left(\frac{\dfrac{4608}{5}-10K_c}{\dfrac{144}{5}}\right)=\frac{4608-50K_c}{144}.
Simplificando 4608/144=32, obtemos
\text{entrada }s^1=32-\frac{25}{72}K_c.
A segunda entrada da linha s^1 será zero (não há mais termos).

Passo 7

A linha s^0 contém simplesmente o termo constante restante, que é K_c. Assim a primeira coluna da tabela de Routh é, de cima para baixo:
1,\;10,\;\frac{144}{5},\;32-\frac{25}{72}K_c,\;K_c.

Passo 8

Condição de estabilidade: todos os termos da primeira coluna devem ser estritamente positivos. Os três primeiros já são positivos invariavelmente ( 1>0, 10>0, \dfrac{144}{5}>0 ). Restam as duas condições que envolvem K_c:
K_c>0
e
32-\frac{25}{72}K_c>0.
Da segunda desigualdade isolamos K_c:
\frac{25}{72}K_c<32 \quad\Rightarrow\quad K_c<32\cdot\frac{72}{25}=\frac{2304}{25}.

Passo 9

Concluímos que a condição necessária e suficiente (pelo critério de Routh aplicado aqui) para estabilidade estrita do fecho é
0<K_c<\frac{2304}{25}.
Observações finais: para K_c=0 o polinômio tem raiz em s=0 (marginalmente estável), e para K_c=\dfrac{2304}{25} a linha s^1 zera e aparece uma raiz no eixo imaginário (marginal). Portanto apenas valores estritamente entre estes extremos dão estabilidade assintótica.

Resposta

0<K_c<\dfrac{2304}{25}

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