Considere a planta G(s)=\frac{1}{s^{2}+6 s+8} e o controlador G_{c}(s)=\frac{K_{c}}{s(s+4)}, onde K_{c} é constante. (Valor 2,5).
a) Existe alguma faixa de valores de K_{c} para o qual o sistema em malha fechada Y(s) / R(s) é estável?
Passo 1
O enunciado dá a planta e o controlador e pede para saber se existe faixa de valores de K_c para os quais o sistema em malha fechada Y(s)/R(s) é estável. Dados fornecidos:
G(s)=\frac{1}{s^{2}+6s+8}
G_c(s)=\frac{K_c}{s(s+4)}
A malha é de realimentação unitária (feed‑back unitário), conforme o diagrama. Pergunta explícita: existe faixa de K_c que torna o sistema fechado estável? Se sim, qual é essa faixa?
Passo 2
Escrevemos a função de malha aberta L(s)=G_c(s)G(s). Multiplicando:
L(s)=\frac{K_c}{s(s+4)}\cdot\frac{1}{s^{2}+6s+8}.
Observação: s^{2}+6s+8=(s+2)(s+4). Então
L(s)=\frac{K_c}{s\,(s+2)\,(s+4)^2}.
A característica do sistema em malha fechada (denominador de Y(s)/R(s)) é dada por 1+L(s)=0, o que corresponde ao polinômio característico:
p(s)=s\,(s+2)\,(s+4)^2 + K_c.
Passo 3
Vamos expandir p(s) explicitamente para construir o polinômio de coeficientes:
Primeiro (s+4)^2=s^2+8s+16.
Depois (s+2)(s^2+8s+16)=s^3+10s^2+32s+32.
Multiplicando por s e somando K_c:
p(s)=s^4+10s^3+32s^2+32s+K_c.
Portanto os coeficientes (do termo s^4 ao termo s^0) são 1,\;10,\;32,\;32,\;K_c.
Passo 4
Para decidir estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) vamos usar o critério de Routh‑Hurwitz — é prático para polinômios reais e permite obter condições em K_c sem calcular raízes explicitamente. Regra prática: montar a tabela de Routh e exigir que todos os elementos da primeira coluna sejam estritamente positivos (para estabilidade estrita).
Construímos a primeira duas linhas (ordem decrescente):
linha s^4: 1\quad 32\quad K_c (coeficientes dos termos s^4,s^2,s^0)
linha s^3: 10\quad 32\quad 0 (coeficientes dos termos s^3,s^1,0)
Passo 5
Calculamos a linha s^2. A primeira entrada da linha s^2 é
Condição de estabilidade: todos os termos da primeira coluna devem ser estritamente positivos. Os três primeiros já são positivos invariavelmente ( 1>0, 10>0, \dfrac{144}{5}>0 ). Restam as duas condições que envolvem K_c:
Concluímos que a condição necessária e suficiente (pelo critério de Routh aplicado aqui) para estabilidade estrita do fecho é
0<K_c<\frac{2304}{25}.
Observações finais: para K_c=0 o polinômio tem raiz em s=0 (marginalmente estável), e para K_c=\dfrac{2304}{25} a linha s^1 zera e aparece uma raiz no eixo imaginário (marginal). Portanto apenas valores estritamente entre estes extremos dão estabilidade assintótica.