Considere o sistema com função de transferência \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+8}{s^{2}+4 s+16} (Valor 2,5):
a) Represente os polos e zeros de Y(s) / U(s) no plano-s e comente sobre sua estabilidade.
b) Determine a saída y(t), sendo y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}, para uma entrada u(t) do tipo degrau unitário, sendo u(t)=\mathcal{L}^{-1}\{U(s)\}.
c) Encontre a resposta y(t) quando t \rightarrow \infty, considerando a mesma entrada u(t) do item b).
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+8}{s^{2}+4s+16}
e pede três coisas:
(item a) Representar polos e zeros no plano-s e comentar sobre estabilidade — ou seja, identificar os polos (raízes do denominador) e o(s) zero(s) (raízes do numerador) e dizer se o sistema é estável.
(item b) Determinar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} quando a entrada é degrau unitário u(t) (ou seja, U(s)=1/s).
(item c) Encontrar \lim_{t\to\infty} y(t) para a mesma entrada.
Informações relevantes fornecidas: a função de transferência \dfrac{Y(s)}{U(s)} acima. Não foram dadas outras condições iniciais (assumimos condições nulas).
Passo 2
Encontrar zeros: solução da equação do numerador igual a zero. O numerador é s+8. Logo o zero é a raiz
s = -8.
Isso significa que existe um zero real em s=-8.
Passo 3
Encontrar polos: são as raízes do denominador s^{2}+4s+16. Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
Numericamente, os polos ficam em \;s\approx -2 \pm j\,3{,}464.
Interpretação de estabilidade: os polos têm parte real -2 (negativa). Um sistema linear com polos com parte real negativa é assintoticamente estável — a resposta livre decai exponencialmente. Além disso, polos complexos conjugados geram resposta oscilatória amortecida (subamortecido) porque há componente imaginária não nula.
Passo 4
Preparar Y(s) para a entrada degrau unitário. Para u(t) degrau unitário temos
Comentário físico: a saída tem uma parte permanente 1/2 e uma parte transitória amortecida e^{-2t}\cos(2\sqrt{3}t). A frequência de oscilação é 2\sqrt{3} rad/s e a taxa de amortecimento exponencial é e^{-2t} (constante de amortecimento 2).
Passo 7
Encontrar \lim_{t\to\infty}y(t). Pela expressão de y(t) temos
o que confirma o resultado. (O teorema do valor final é aplicável aqui porque todos os polos de sY(s) têm parte real negativa exceto possível polo simples em zero tratado corretamente.)
Resposta
(a) Zero em \;s=-8. Polos em \;s=-2\pm j\,2\sqrt{3} (aprox. -2\pm j\,3{,}464). Sistema assintoticamente estável (polos com parte real negativa) e subamortecido (polo complexo conjugado → oscilação amortecida).
(b) \displaystyle y(t)=\frac{1}{2}\Bigl[1-e^{-2t}\cos\bigl(2\sqrt{3}\,t\bigr)\Bigr],\quad t\ge 0.
(c) \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\frac{1}{2}.