Considere o sistema com função de transferência \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+8}{s^{2}+4 s+16} (Valor 2,5):
a) Represente os polos e zeros de Y(s) / U(s) no plano-s e comente sobre sua estabilidade.
b) Determine a saída y(t), sendo y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}, para uma entrada u(t) do tipo degrau unitário, sendo u(t)=\mathcal{L}^{-1}\{U(s)\}.
c) Encontre a resposta y(t) quando t \rightarrow \infty, considerando a mesma entrada u(t) do item b).

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+8}{s^{2}+4s+16}
e pede três coisas:
  1. (item a) Representar polos e zeros no plano- s e comentar sobre estabilidade — ou seja, identificar os polos (raízes do denominador) e o(s) zero(s) (raízes do numerador) e dizer se o sistema é estável.
  2. (item b) Determinar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} quando a entrada é degrau unitário u(t) (ou seja, U(s)=1/s).
  3. (item c) Encontrar \lim_{t\to\infty} y(t) para a mesma entrada.
Informações relevantes fornecidas: a função de transferência \dfrac{Y(s)}{U(s)} acima. Não foram dadas outras condições iniciais (assumimos condições nulas).

Passo 2

Encontrar zeros: solução da equação do numerador igual a zero. O numerador é s+8. Logo o zero é a raiz
s = -8.
Isso significa que existe um zero real em s=-8.

Passo 3

Encontrar polos: são as raízes do denominador s^{2}+4s+16. Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
s = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16-64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2}.
Escrevendo a parte imaginária:
\sqrt{-48} = j\sqrt{48} = j\,4\sqrt{3},
portanto
s = -2 \pm j\,2\sqrt{3}.
Numericamente, os polos ficam em \;s\approx -2 \pm j\,3{,}464.
Interpretação de estabilidade: os polos têm parte real -2 (negativa). Um sistema linear com polos com parte real negativa é assintoticamente estável — a resposta livre decai exponencialmente. Além disso, polos complexos conjugados geram resposta oscilatória amortecida (subamortecido) porque há componente imaginária não nula.

Passo 4

Preparar Y(s) para a entrada degrau unitário. Para u(t) degrau unitário temos
U(s)=\frac{1}{s}.
Então
Y(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\;U(s)=\frac{s+8}{s^{2}+4s+16}\cdot\frac{1}{s}=\frac{s+8}{s\left(s^{2}+4s+16\right)}.

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Assumimos forma
\frac{s+8}{s\left(s^{2}+4s+16\right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4s+16}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+4s+16)\) obtemos \[s+8 = A\left(s^{2}+4s+16\right)+(Bs+C)s.
Expandindo e agrupando coeficientes:
s+8 = (A+B)s^{2}+(4A+C)s+16A.
Comparando coeficientes com 0\cdot s^{2}+1\cdot s+8 resulta o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 4A+C=1,\\[4pt] 16A=8. \end{cases}
Da terceira equação 16A=8\] vem \(A=\tfrac{1}{2}. Então B=-A=-\tfrac{1}{2}. E C=1-4A=1-2=-1.
Portanto a decomposição é
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}+\frac{-\tfrac{1}{2}s-1}{s^{2}+4s+16}.]

Passo 6

Para inverter a segunda fração é conveniente completar o quadrado no denominador:
s^{2}+4s+16=(s+2)^{2}+12=(s+2)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}.
Observe o numerador da segunda fração:
-\tfrac{1}{2}s-1 = -\tfrac{1}{2}(s+2),
pois -\tfrac{1}{2}(s+2)=-\tfrac{1}{2}s-1. Assim
\frac{-\tfrac{1}{2}s-1}{s^{2}+4s+16} = -\tfrac{1}{2}\,\frac{s+2}{(s+2)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}.
Agora usamos propriedades usuais da transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1\quad(\text{degrau unitário}),á
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}\right\}=e^{-a t}\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}}\right\}=e^{-a t}\sin(\omega t).
Aplicando isso a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}\right\}=\frac{1}{2},
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\tfrac{1}{2}\,\frac{s+2}{(s+2)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}\right\} = -\tfrac{1}{2}e^{-2t}\cos\bigl(2\sqrt{3}\,t\bigr).
Somando os termos, para t\ge 0:
y(t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-2t}\cos\bigl(2\sqrt{3}\,t\bigr).
Podemos escrever também
y(t)=\frac{1}{2}\Bigl[1-e^{-2t}\cos\bigl(2\sqrt{3}\,t\bigr)\Bigr],\qquad t\ge 0.
Comentário físico: a saída tem uma parte permanente 1/2 e uma parte transitória amortecida e^{-2t}\cos(2\sqrt{3}t). A frequência de oscilação é 2\sqrt{3} rad/s e a taxa de amortecimento exponencial é e^{-2t} (constante de amortecimento 2).

Passo 7

Encontrar \lim_{t\to\infty}y(t). Pela expressão de y(t) temos
\lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\underbrace{\lim_{t\to\infty} e^{-2t}\cos\bigl(2\sqrt{3}\,t\bigr)}_{=0}=\frac{1}{2}.
Como verificação alternativa, usando o teorema do valor final:
\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}s\cdot\frac{s+8}{s\left(s^{2}+4s+16\right)}=\lim_{s\to 0}\frac{s+8}{s^{2}+4s+16}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2},
o que confirma o resultado. (O teorema do valor final é aplicável aqui porque todos os polos de sY(s) têm parte real negativa exceto possível polo simples em zero tratado corretamente.)

Resposta

(a) Zero em \;s=-8. Polos em \;s=-2\pm j\,2\sqrt{3} (aprox. -2\pm j\,3{,}464). Sistema assintoticamente estável (polos com parte real negativa) e subamortecido (polo complexo conjugado → oscilação amortecida).
(b) \displaystyle y(t)=\frac{1}{2}\Bigl[1-e^{-2t}\cos\bigl(2\sqrt{3}\,t\bigr)\Bigr],\quad t\ge 0.
(c) \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\frac{1}{2}.

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