Considere a pressão na altura de 10 km numa coluna de ar, M=0,0289 kg/mol. Se a pressão no solo permanecer a 1 atm , mas a temperatura variar de 300 K para 320 K , qual será a variação na pressão a 10 km de altitude?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma coluna de ar onde a massa molar do ar é $ M = 0,0289 , kg/mol $. A pressão no solo é de 1 atm e queremos saber como essa pressão muda a 10 km de altitude quando a temperatura aumenta de 300 K para 320 K. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física atmosférica, especificamente a relação entre pressão, temperatura e altitude em uma atmosfera ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão em uma coluna de ar pode ser relacionada à temperatura pela equação dos gases ideais modificada para uma atmosfera estratificada. A equação que nos ajuda aqui é:
P = P0 exp(-M g hR T)
Onde:
  • $ P $ é a pressão a uma certa altura $ h $.
  • $ P_0 $ é a pressão no solo.
  • $ M $ é a massa molar do ar.
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $).
  • $ h $ é a altura (10 km ou 10.000 m).
  • $ R $ é a constante dos gases ($ 8,314 , J/(mol·K) $).
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Vamos calcular a pressão a 10 km de altitude para as duas temperaturas dadas: 300 K e 320 K.
Primeiro, calculamos para $ T = 300 , K $:
T = 300 , K
Agora, para $ T = 320 , K $:
P300 = 1 , atm times exp(-0,0289 times 9,81 times 10.0008,314 times 300)

Passo 4

Vamos simplificar os cálculos dentro do exponencial.
Para $ T = 300 , K $:
T = 300 , K
Então,
0,0289 times 9,81 times 10.0008,314 times 300 = 2,83892494,2 approx 0,001138
Para $ T = 320 , K $:
P300 = 1 , atm times exp(-1,138) approx 1 , atm times 0,320 approx 0,320 , atm
Então,
T = 320 , K

Resposta

A variação na pressão a 10 km de altitude, quando a temperatura sobe de 300 K para 320 K, é de aproximadamente $ 0,344 , atm - 0,320 , atm = 0,024 , atm $.

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