Considere em R^4 os subespaços V=mathscrL(1,0,1,1),(0,-1,-1,-1) e W=(x, y, z, t) ; x+y= 0 e t+z=0. Determine uma transformação linear T: R^4 R^4 tal que Nuc T=V e Im T=W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com transformações lineares em R^4. O enunciado pede para encontrar uma transformação linear T: R^4 R^4 que tem como núcleo o subespaço V e como imagem o subespaço W. Para isso, vamos precisar entender conceitos como núcleo, imagem e a Teorema do Núcleo e Imagem. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões dos subespaços V e W. O núcleo V é gerado por dois vetores: (1,0,1,1) e (0,-1,-1,-1). Então, dim V = 2.
Já o subespaço W é definido pelas equações x + y = 0 e t + z = 0. Como temos duas equações lineares independentes em um espaço de 4 dimensões, a dimensão de W é 4 - 2 = 2.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que para uma transformação linear T: R^4 R^4, a soma das dimensões do núcleo e da imagem é igual à dimensão do espaço de partida. Ou seja:
dim(Nuc T) + dim(Im T) = dim R^4 = 4
No nosso caso, dim V + dim W = 2 + 2 = 4, que satisfaz a condição. Isso significa que existe uma transformação linear T com núcleo V e imagem W.

Passo 4

Para construir a transformação T, vamos seguir esses passos:
  1. Escolher uma base para V: Já temos os vetores que geram V: (1,0,1,1) e (0,-1,-1,-1).
  2. Completar para uma base de R^4: Precisamos de mais dois vetores que, juntos com os de V, formem uma base para R^4. Vamos escolher, por exemplo, (1,1,0,0) e (0,0,1, -1).
  3. Definir a transformação T: Vamos mapear os vetores de V para o vetor zero (já que V é o núcleo) e mapear os outros vetores escolhidos para gerar o subespaço W.

Passo 5

Vamos detalhar a definição de T:
  • Para os vetores de V:
    T(1,0,1,1) = (0,0,0,0) T(0,-1,-1,-1) = (0,0,0,0)
  • Para os vetores complementares:
    T(1,1,0,0) = (1, -1, 0, 0) T(0,0,1,-1) = (0, 0, 1, -1)
Observamos que os vetores imagem satisfazem as equações de W: em ambos os casos, x + y = 0 e t + z = 0.

Passo 6

Com isso, já temos a definição de T nos vetores da base. Para extender para todo R^4, usamos a linearidade. Assim, qualquer vetor v in R^4 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, e aplicamos T em cada componente.

Resposta

A transformação linear T: R^4 R^4 que satisfaz Nuc T = V e Im T = W pode ser representada pela seguinte matriz:
T = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
Essa matriz garante que o núcleo de T é exatamente o subespaço V e a imagem de T é o subespaço W, conforme solicitado no exercício.

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