Considere em os subespaços e . Determine uma transformação linear tal que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com transformações lineares em . O enunciado pede para encontrar uma transformação linear que tem como núcleo o subespaço e como imagem o subespaço . Para isso, vamos precisar entender conceitos como núcleo, imagem e a Teorema do Núcleo e Imagem. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões dos subespaços e . O núcleo é gerado por dois vetores: e . Então, .
Já o subespaço é definido pelas equações e . Como temos duas equações lineares independentes em um espaço de 4 dimensões, a dimensão de é .
Passo 3
Agora, vamos lembrar a Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que para uma transformação linear , a soma das dimensões do núcleo e da imagem é igual à dimensão do espaço de partida. Ou seja:
No nosso caso, , que satisfaz a condição. Isso significa que existe uma transformação linear com núcleo e imagem .
Passo 4
Para construir a transformação , vamos seguir esses passos:
Escolher uma base para : Já temos os vetores que geram : e .
Completar para uma base de : Precisamos de mais dois vetores que, juntos com os de , formem uma base para . Vamos escolher, por exemplo, e .
Definir a transformação : Vamos mapear os vetores de para o vetor zero (já que é o núcleo) e mapear os outros vetores escolhidos para gerar o subespaço .
Passo 5
Vamos detalhar a definição de :
Para os vetores de :
Para os vetores complementares:
Observamos que os vetores imagem satisfazem as equações de : em ambos os casos, e .
Passo 6
Com isso, já temos a definição de nos vetores da base. Para extender para todo , usamos a linearidade. Assim, qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, e aplicamos em cada componente.
Resposta
A transformação linear que satisfaz e pode ser representada pela seguinte matriz:
Essa matriz garante que o núcleo de T é exatamente o subespaço V e a imagem de T é o subespaço W, conforme solicitado no exercício.