Considere a recorrência definida por a_{0}=a, a_{n}=q a_{n-1}+r, se n \geq 1, onde a, q, r são constantes.
Se q \neq 0 e q \neq 1, mostre, por indução em n, que: a_{n}=a q^{n}+\frac{\left(q^{n}-1\right) r}{q-1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá a recorrência de primeira ordem não homogênea
a_{0}=a,\quad a_{n}=q\,a_{n-1}+r\quad(n\ge1),
onde a,q,r são constantes e q\neq0,1.
O objetivo é provar por indução que, para todo n\in\mathbb{N},
a_{n}=a\,q^{n}+\frac{q^{n}-1}{q-1}\,r.

Passo 2

(Base da indução, n=0).
Substituindo n=0 na fórmula proposta, obtemos
a_{0}\stackrel{?}{=}a\,q^{0}+\frac{q^{0}-1}{q-1}\,r =a\cdot1+\frac{1-1}{q-1}\,r =a+0=a,
que coincide com a condição inicial a_{0}=a. Logo, vale para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução).
Suponha que, para algum n\ge0, valha
a_{n}=a\,q^{n}+\frac{q^{n}-1}{q-1}\,r.

Passo 4

(Passo de indução).
Usando a recorrência a_{n+1}=q\,a_{n}+r e a hipótese, temos
a_{n+1} =q\Bigl(a\,q^{n}+\frac{q^{n}-1}{q-1}\,r\Bigr)+r =a\,q^{n+1}+\frac{q\,(q^{n}-1)}{q-1}\,r+r.
Observe que
\frac{q\,(q^{n}-1)}{q-1}\,r+r =\frac{q^{n+1}-q}{q-1}\,r+\frac{q-1}{q-1}\,r =\frac{q^{n+1}-q+q-1}{q-1}\,r =\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\,r.
Logo
a_{n+1} =a\,q^{n+1}+\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\,r,
que é exatamente a fórmula desejada para n+1.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N},
\boxed{a_{n}=a\,q^{n}+\frac{q^{n}-1}{q-1}\,r.}

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